Filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb

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Il filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb (KHN), detto anche filtro universale Kerwin-Huelsman-Newcomb, è un filtro biquad a variabili di stato del secondo ordine. Esso, oltre a costituire un'alternativa ad elevato Q per sezioni biquad del secondo ordine a basso Q (ad es. i Sallen-Key), è in grado di produrre simultaneamente uscite: passa basso, passa alto e passa banda a partire da un unico ingresso. La presenza contemporanea di uscite passa basso, passa alto e passa banda apre scenari interessanti nella realizzazione di filtri notch o all-pass, equalizzatori di fase ad elevato Q.

Il KHN deriva da una riformulazione della funzione di trasferimento di un filtro biquad passa-alto in termini di rapporto di due funzioni quadratiche.

Considerando, infatti, l'espressione di un biquad passa-alto:

${\displaystyle V_{HP}(s)={\frac {ks^{2}Vi(s)}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}}$ (1)

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il denominatore del termine a destra nella (1), si ottiene:

${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}*V_{HP}(s)(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})=ks^{2}Vi(s)*{\frac {1}{s^{2}}}}$ (2)

isolando V_HP(s) si ottiene:

${\displaystyle V_{HP}(s)=kVi(s)-{\frac {\omega 0}{s}}{\frac {1}{Q}}V_{HP}(s)-{\frac {\omega 0^{2}}{s^{2}}}V_{HP}(s)}$(3)

L'eq. (3) mostra che l'uscita passa alto del KHN (V_HP(s)) è il risultato di una combinazione lineare di: un'uscita di tipo passa banda (ottenuto mediante l'integrazione -ω0/s della V_HP(s)) e di un'uscita di tipo passa basso (ulteriore integrazione -ω0/s sull'uscita di tipo passa banda). Uno schema a blocchi, rappresentativo del principio di funzionamento di un filtro universale è riportato di seguito.

È quindi possibile riscrivere l'eq. (3) come:

${\displaystyle V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)}$(4)

con ${\displaystyle V_{BP}(s)={\frac {-k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)}$e ${\displaystyle V_{LP}(s)={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)}$ (5)

È interessante notare che l'uscita V_BP(s) presenta un segno negativo a causa dell'integrazione invertente a cui è sottoposto V_HP(s).

Dall'eq. (5), relativa a V_BP(s), è inoltre possibile derivare il guadagno alla frequenza centrale del passa banda ω0, la quale risulta essere :

${\displaystyle |H_{BP}(j\omega 0)|=kQ}$(6)

Considerando le eq. (3) e (4), risulta necessaria un'implementazione circuitale che faccia uso di due circuiti integratori ed un circuito sommatore che sintetizzi l'eq.(4).:

${\displaystyle V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)}$(4)

A tal proposito è possibile far uso di una configurazione circuitale del tipo:

Dal momento che, coerentemente con l'eq. (4), la V_LP(s) deve essere riportata con un guadagno di -1 risulta che : ${\displaystyle R1=RF}$.

Per determinare i parametri k e Q, è possibile far uso del principio di sovrapposizione degli effetti:

Definiamo k ${\displaystyle \longrightarrow k={\frac {V_{HP}}{Vi}}|_{VBP=VLP=0}={\frac {R3}{R2+R3}}(1+{\frac {RF}{R1}})={\frac {2R3}{R2+R3}}}$(7)

Definiamo Q ${\displaystyle \longrightarrow {\frac {1}{Q}}={\frac {V_{HP}}{V_{BP}}}|_{Vi=VLP=0}={\frac {2R2}{R2+R3}}}$(8)

Dalla (8) risulta che:

${\displaystyle {\frac {R3}{R2}}=2Q-1}$ (9)

Tale equazione di progetto ha un'implicazione interessante: diversamente da quanto avviene per i Sallen-Key, dove il rapporto tra le resistenze dipende da Q², limitandone di fatto l'utilizzo per valori elevati di Q, in questo caso la dipendenza risulta essere lineare. Questo consente di utilizzare tale filtro per realizzare Q elevati. Infatti, riprendendo l'eq. (7):

${\displaystyle k={\frac {2{\frac {R3}{R2}}}{\frac {R2+R3}{R2}}}=2-{\frac {1}{Q}}}$(9)

Riconsiderando il guadagno a centro banda previsto dall'eq.(6):

${\displaystyle |H_{BP}(j\omega 0)|=kQ=2Q-1={\frac {R3}{R2}}}$ (10)

L'implementazione circuitale completa di un filtro KHN è riportata di seguito:

Tale circuito manifesta una ${\displaystyle \omega 0={\frac {1}{RC}}}$(11)

Sfruttando le uscite di un filtro KHN è possibile realizzare:

• Filtri Notch Biquad (a frequenza centrale, o notch passa basso/ alto)
• Filtri All-Pass Biquad

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro notch biquad a frequenza centrale, passa alto o passa basso, mediante opportuna combinazione lineare delle uscite V_HP e V_LP, riportata in miniatura.

Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:

${\displaystyle Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}}$ (12)

con

${\displaystyle V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi}$ e ${\displaystyle V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi}$ (13)

Sostituendo le espressioni di V_HP e V_LP in Vo si ottiene:

${\displaystyle Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi}$(14)

Se si vuole realizzare un notch a frequenza soppressa ω0, bisognerà porre ${\displaystyle R_{HP}=R_{LP}}$realizzando la forma generalizzata di un filtro notch biquad:

${\displaystyle H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}}$(15)

Diversamente, se si vuole realizzare un filtro notch passa basso bisognerà realizzare una condizione generalizzata, che preveda una frequenza soppressa ${\displaystyle \omega _{N}\neq \omega 0}$ del tipo:

${\displaystyle H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega _{N}^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}}$(16)

con ${\displaystyle \omega _{N}>\omega 0}$. In questo modo, il guadagno del filtro a basse frequenze risulterà essere ${\displaystyle |a2|{\frac {\omega _{N}^{2}}{\omega 0^{2}}}}$> ${\displaystyle |a2|}$, guadagno alle alte frequenze. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14): ${\displaystyle R_{HP}>R_{LP}}$.

Discorso del tutto analogo se l'intenzione è quella di realizzare un notch passa alto. In questo caso, ${\displaystyle \omega _{N}<\omega 0}$, per cui i guadagni si invertono, rispetto al caso precedente. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14): ${\displaystyle R_{HP}<R_{LP}}$.

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro passa tutto biquad, mediante combinazione lineare delle uscite V_HP , V_BP e V_LP, come riportato in miniatura.

Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:

${\displaystyle Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{BP}{\frac {RF}{R_{BP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}}$ (17)

con

${\displaystyle V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi}$, ${\displaystyle V_{BP}=-{\frac {k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi}$ e ${\displaystyle V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi}$(18)

Sostituendo le espressioni di V_HP , V_BP e V_LP in Vo si ottiene:

${\displaystyle Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}-{\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}s+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi}$(19)

che confrontata con un'espressione generalizzata di un biquad all-pass:

${\displaystyle H_{AP}(s)=a2{\frac {(s^{2}-{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}}$(20)

permette di ricavare alcune considerazioni di tipo circuitale:

${\displaystyle R_{HP}=R_{LP}}$ e ${\displaystyle {\frac {1}{Q}}={\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}}$(21)

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