Generatore lineare congruenziale

In matematica il generatore lineare congruenziale (LCG dall'inglese Linear Congruential Generator) è un algoritmo per la generazione di numeri pseudo-casuali vecchio e molto conosciuto. La teoria sulla quale poggia è semplice da capire e da implementare; inoltre ha il vantaggio di essere computazionalmente leggero.

Il generatore è definito ricorsivamente:

${\displaystyle X_{n+1}=\left(aX_{n}+c\right)\ {\bmod {\ }}m}$

dove ${\displaystyle X_{n}}$ è un valore della successione dei numeri pseudocasuali e

${\displaystyle m,\,0<m}$ — il "modulo"

${\displaystyle a,\,0<a<m}$ — il "moltiplicatore"

${\displaystyle c,\,0\leq c<m}$ — l'"incremento" (nel caso speciale in cui ${\displaystyle c=0}$ si parla di generatore Park-Miller RNG o moltiplicativo)

${\displaystyle X_{0},\,0\leq X_{0}<m}$ — il "seme" o il "valore iniziale"

Il periodo di un LCG è al più m, e per alcune scelte di a può essere molto più piccolo. Il LCG ha un periodo pieno se e solo se:

1. ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle m}$ sono coprimi
2. ${\displaystyle a-1}$ è divisibile per tutti i fattori primi di ${\displaystyle m}$,
3. ${\displaystyle a-1}$ è un multiplo di 4 se ${\displaystyle m}$ è un multiplo di 4.^[1]

Nonostante gli LCG siano generalmente in grado di produrre numeri pseudocasuali decenti, la loro qualità è molto sensibile alla scelta dei coefficienti c, m ed a.

Storicamente, scelte sbagliate hanno portato a implementazioni inefficienti di LCG. Un esempio significativo è RANDU che è stato usato largamente nei primi anni '70 e ha portato a dei risultati che attualmente sono messi in dubbio a causa dell'uso di un LCG di scarsa qualità^[2].

Se un generatore congruenziale lineare è inizializzato con un carattere e iterato, il risultato è un semplice cifrario classico chiamato cifrario affine; questo cifrario è facilmente forzabile con un'analisi frequentista standard.

Un esempio di generatore di base può essere dato da

${\displaystyle a=3}$

${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle m=5}$

${\displaystyle X_{0}=1}$

Ossia:

${\displaystyle X_{i+1}=3\cdot X_{i}+1{\pmod {5}}}$

La sequenza generata è:

${\displaystyle X_{1}=3\cdot X_{0}+1{\pmod {5}}=4}$

${\displaystyle X_{2}=3\cdot X_{1}+1{\pmod {5}}=3}$

${\displaystyle X_{3}=3\cdot X_{2}+1{\pmod {5}}=0}$

${\displaystyle X_{4}=3\cdot X_{3}+1{\pmod {5}}=1}$

${\displaystyle X_{5}=3\cdot X_{4}+1{\pmod {5}}=4}$

${\displaystyle X_{6}=3\cdot X_{5}+1{\pmod {5}}=3}$

Il periodo è uguale a quattro.

Il generatore congruenziale lineare più efficiente ha m uguale a una potenza di 2, spesso m = 2³² o m = 2⁶⁴ perché questo consente di calcolare l'operazione modulo semplicemente troncando i 32 o i 64 bit meno significativi. La seguente tabella lista i parametri degli LCG di uso comune, inclusa le funzioni rand() di alcuni compilatori.

^{[senza fonte]}

Come mostrato sopra, LCG non usa sempre tutti i bit che produce. L'implementazione Java produce 48 bit ad ogni iterazione ma sono ritornati come risultato solo i 32 bit più significativi. Questo poiché i bit più significativi hanno un periodo più lungo. Gli algoritmi che usano questa soluzione sono migliori.

I generatori congruenziali lineari richiedono una memoria minima (tipicamente 32 o 64 bit) per memorizzare lo stato.

Gli LCG non dovrebbero essere usati in applicazioni dove è critico l'utilizzo dell'alta casualità.

Per esempio, non sono adatti per simulazioni Monte Carlo poiché hanno una correlazione tra di loro. Non devono essere usati in crittografia.

Inoltre questi algoritmi tendono ad avere alcuni difetti. Per esempio, se un LCG è usato per scegliere i punti in uno spazio n-dimensionale, i punti giacciono su iperpiani al massimo m^1/n-dimensionali (teorema di Marsaglia). Questo è dovuto ad una correlazione tra valori successivi della successione.

Un altro problema è che negli LCG i bit meno significativi della sequenza generata hanno un periodo più corto di quello della sequenza se m è posto ad essere una potenza di 2. In generale, la n-esima cifra meno significativa nella base b della sequenza prodotta, dove ${\displaystyle b^{k}=m}$ per qualche intero k, si ripete con un periodo al più ${\displaystyle b^{n}}$.

Nonostante ciò, gli LGC possono essere una buona scelta in alcuni contesti, come per esempio nei sistemi embedded, dove la memoria disponibile è spesso molto limitata; anche nel caso di un videogioco, prendere un piccolo numero dei bit più significativi potrebbe essere sufficiente. I bit meno significativi di un LCG dove m è una potenza di 2 non dovrebbero mai essere usati.

Se è necessario avere numeri pseudocasuali di qualità e una certa memoria è disponibile (~ 2 kilobytes), allora l'algoritmo Mersenne Twister fornisce un periodo molto maggiore (2^19937-1)

• Numeri pseudo-casuali
• Generatore di Fibonacci ritardato
• Generatore hardware di numeri casuali
• Mersenne Twister
• Funzione periodica

• Generazione di numeri casuali (PDF) ^{[collegamento interrotto]}, su www-tlc.deis.unibo.it.
• Generatore di numeri casuali (Regione Emilia-Romagna), su regione.emilia-romagna.it.

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