Arbelo

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In geometria l'arbelo è una figura geometrica piana delimitata da tre semicirconferenze. Il termine arbelo deriva dal greco e indica il "trincetto da calzolaio". Sembrerebbe essere la prima^{[senza fonte]} figura che prende il nome da oggetti di uso quotidiano, in particolare da attrezzi artigianali o contadini. Probabilmente un'arma persiana aveva la stessa forma. L'arbelo è stata oggetto di studio da parte di Archimede ed è la base per la costruzione dei cerchi gemelli di Archimede.

La costruzione dell'arbelo è la seguente: sul diametro ${\displaystyle AB}$ di un semicerchio si fissa un punto qualsiasi ${\displaystyle O,}$ e si descrivono le due semicirconferenze interne al semicerchio dato e aventi come diametro rispettivamente ${\displaystyle AO}$ e ${\displaystyle OB.}$ La figura che ne risulta, limitata dalle tre semicirconferenze, è detta arbelo.

Posto ${\displaystyle {\overline {OA}}=a}$ e ${\displaystyle {\overline {OB}}=b}$ l'area dell'arbelo, che indichiamo con ${\displaystyle S,}$ è:

${\displaystyle S={\frac {\pi }{2}}\left[{\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}\right]={\frac {\pi }{4}}ab.}$

Indicato con ${\displaystyle h}$ la lunghezza del segmento ${\displaystyle OC}$ innalzato perpendicolarmente ad ${\displaystyle AB}$ fino ad incontrare la semicirconferenza maggiore in ${\displaystyle C,}$ per il secondo teorema di Euclide, si ha che ${\displaystyle h^{2}=ab,}$ pertanto il valore della superficie può essere espresso anche come

${\displaystyle S=\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\pi .}$

Si può pertanto concludere che: l'area dell'arbelo è uguale a quella del cerchio di diametro ${\displaystyle OC.}$

Se indichiamo con ${\displaystyle P}$ il perimetro dell'arbelo si ha:

${\displaystyle P={\frac {\pi }{2}}\left({a+b+a+b}\right)=\left({a+b}\right)\pi .}$

Quindi: il perimetro dell'arbelo è uguale alla lunghezza della circonferenza di diametro ${\displaystyle AB.}$

• Archimede
• Salinon

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Arbelo

• (EN) Eric W. Weisstein, Arbelo, su MathWorld, Wolfram Research.

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