Anello di Cohen-Macaulay

In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Cohen-Macaulay è un anello commutativo unitario noetheriano tale che, per ogni ideale massimale ${\displaystyle M}$, la profondità e la dimensione di Krull della localizzazione ${\displaystyle A_{M}}$ sono uguali. La classe degli anelli di Cohen-Macaulay contiene al suo interno tutti gli anelli regolari e gli anelli di Gorenstein.

Prendono nome da Francis Sowerby Macaulay e Irving Cohen, che dimostrarono il teorema di unmixedness rispettivamente per gli anelli di polinomi (Macaulay, 1916) e gli anelli di serie formali (Cohen, 1946).

Sia ${\displaystyle A}$ un anello commutativo unitario noetheriano. ${\displaystyle A}$ è di Cohen-Macaulay se la sua dimensione di Krull coincide con la sua profondità, ovvero se esiste una successione regolare di lunghezza pari alla dimensione di Krull di ${\displaystyle A}$. Questo è equivalente a richiedere che la profondità di ogni ideale di ${\displaystyle A}$ coincida con la sua altezza. Omologicamente, questo equivale a richiedere che ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{i}(K,A)=0}$ per ${\displaystyle i<\dim(A)}$, dove ${\displaystyle \mathrm {Ext} }$ indica il funtore Ext e ${\displaystyle K}$ è il campo residuo di ${\displaystyle A}$.

Se ${\displaystyle A}$ non è locale, allora ${\displaystyle A}$ è detto di Cohen-Macaulay se ${\displaystyle A_{M}}$ è un anello di Cohen-Macaulay, o equivalentemente se ${\displaystyle h(I)=\mathrm {depth} (I)}$ per ogni ideale ${\displaystyle I}$ di ${\displaystyle A}$.

Tutti gli anelli noetheriani di dimensione 0 (ovvero gli anelli artiniani) sono di Cohen-Macaulay (in quanto la profondità è un intero compreso tra 0 e la dimensione dell'anello). Già in dimensione 1 esistono anelli che non sono di Cohen-Macaulay: un esempio è l'anello ${\displaystyle K[[x,y]]/(x^{2},xy)}$, che ha dimensione 1 e profondità 0.

Tutti i domini d'integrità noetheriani di altezza 1 sono di Cohen-Macaulay, così come i domini d'integrità integralmente chiusi di dimensione 2. Anche questi risultati non possono essere estesi in dimensione superiore: esistono infatti domini d'integrità di dimensione 2 e domini integralmente chiusi di dimensione 3 che non sono di Cohen-Macaulay.

Tutti gli anelli regolari sono anelli di Cohen-Macaulay.

Tutti gli anelli di Gorenstein sono anelli di Cohen-Macaulay.

Ogni localizzazione di un anello di Cohen-Macaulay è ancora di Cohen-Macaulay; tuttavia la proprietà di essere Cohen-Macaulay non è rispettata dal passaggio al quoziente. Se però ${\displaystyle A}$ è di Cohen-Macaulay e ${\displaystyle I}$ è un ideale generato da una successione regolare, allora ${\displaystyle A/I}$ è ancora di Cohen-Macaulay.

Un anello noetheriano ${\displaystyle A}$ è di Cohen-Macaulay se e solo se lo è l'anello dei polinomi ${\displaystyle A[X]}$, o se lo è l'anello delle serie formali ${\displaystyle A[[X]]}$.

Inoltre, un anello locale è di Cohen-Macaulay se e solo se lo è il suo completamento ${\displaystyle M}$-adico.

Un'altra condizione equivalente ad essere un anello di Cohen-Macaulay è dato dal teorema di unmixedness, che afferma che ${\displaystyle A}$ è di Cohen-Macaulay se e solo se, per ogni ideale ${\displaystyle I}$ generato da ${\displaystyle h(I)}$ elementi, tutti i primi associati di ${\displaystyle I}$ hanno la stessa altezza.

Un'importante proprietà degli anelli di Cohen-Macaulay è che, se ${\displaystyle P}$ è un ideale primo di ${\displaystyle A}$, allora tutte le catene discendenti saturate di ideali primi hanno la stessa cardinalità. In particolare, questo dimostra che se ${\displaystyle A}$ è locale e di Cohen-Macaulay allora ${\displaystyle \dim(A_{P})+\dim(A/P)=\dim(A)}$ per ogni ideale primo ${\displaystyle P}$, ovvero che ${\displaystyle h(P)+\dim(A/P)=\dim(A)}$ per ogni primo ${\displaystyle P}$.

• (EN) Winfried Bruns e Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993, ISBN 978-0-521-41068-7, , MR 1251956.
• (EN) Irving Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings, in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 59, 1946, pp. 54-106, ISSN 0002-9947, MR 0016094.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Irving Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5.
• (EN) Francis Sowerby Macaulay, The algebraic theory of modular systems, Cambridge Univ. Press, 1916, ISBN 1-4297-0441-1.
• (EN) Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, traduzione di M. Reid, Cambridge University Press, 1986, ISBN 978-0-521-36764-6.

• Anello di Gorenstein
• Anello locale regolare
• Anello artiniano
• Dimensione di Krull
• Profondità (algebra)

• (EN) Eric W. Weisstein, Anello di Cohen-Macaulay, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Anello di Cohen-Macaulay, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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