Costruzione di Poinsot

La costruzione di Poinsot, dal nome del matematico e fisico francese Louis Poinsot, è un metodo geometrico per descrivere la dinamica rotazionale di un corpo rigido in assenza di momenti esterni. Tale costruzione evidenzia l'analogia tra la rotazione fisica del corpo in esame e quella di un ellissoide che rotola senza strisciare su una superficie tangente.

L'ellissoide d'inerzia di un corpo rigido può essere scritto attraverso la forma quadratica

${\displaystyle \mathbf {x} {\bar {I}}\mathbf {x} }$

dove ${\displaystyle {\bar {I}}}$ è il tensore d'inerzia del corpo.

Si consideri ora un piano ${\displaystyle \pi }$ tangente all'ellissoide.

L'energia cinetica rotazionale, anch'essa conservata, può essere invece scritta nella seguente maniera:

${\displaystyle 2E=\mathbf {\Omega } I\mathbf {\Omega } }$

dove ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ è la velocità angolare di rotazione del corpo.

Confrontando le due espressioni, si ottiene

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\Omega }{\sqrt {2E}}}}$

Inoltre, ${\displaystyle \pi }$ è ortogonale al vettore momento angolare del corpo. Infatti

${\displaystyle \nabla (\mathbf {x} I\mathbf {x} )=2I\mathbf {x} ={\frac {2\mathbf {{\bar {I}}\mathbf {\Omega } } }{\sqrt {2E}}}={\frac {{\sqrt {2}}\mathbf {L} }{\sqrt {E}}}}$

dove si è fatto uso della ben nota relazione ${\displaystyle \mathbf {L} ={\bar {I}}\mathbf {\Omega } }$.

Dunque, essendo il gradiente dell'ellissoide normale al piano tangente nel punto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e parallelo al momento angolare, segue che ${\displaystyle \mathbf {L} }$ è ortogonale a ${\displaystyle \pi }$.

Ora, la distanza ${\displaystyle h}$ del centro di massa dal piano tangente è uguale alla proiezione della distanza tra il centro e il punto di tangenza lungo il vettore momento angolare ed è quindi data dal prodotto scalare

${\displaystyle h=\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {L}} ={\frac {\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {L} }{L{\sqrt {2E}}}}={\frac {2\mathbf {L} }{\sqrt {2E}}}}$

In virtù della conservazione dell'energia e del momento angolare, tale quantità rimane costante durante il moto, quando il piano ${\displaystyle \pi }$ è fisso.

Infine, il punto di tangenza si trova sull'asse di rotazione, quindi ha velocità nulla. Pertanto l'ellissoide rotola senza strisciare.

Le curve descritte dal punto di tangenza sull'ellissoide e sul piano possono essere utilizzate per parametrizzare la dinamica del corpo rigido. In particolare, il moto può essere descritto da due coordinate curvilinee associate a tali traiettorie.

Il moto è periodico se l'angolo descritto dal punto di tangenza sul piano nel tempo necessario a compiere un intero giro dell'ellissoide è commensurabile con ${\displaystyle 2\pi }$

Consideriamo un punto ${\displaystyle O}$ qualsiasi all'interno di un corpo rigido e assumiamo un sistema di riferimento con tre assi (${\displaystyle x,y,z}$) in ${\displaystyle O}$, solidali al corpo.

Il versore ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ dell'asse di rotazione si ottiene

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} =\alpha \mathbf {\hat {i}} +\beta \mathbf {\hat {j}} +\gamma \mathbf {\hat {k}} }$

dove ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ sono i coseni direttori dell'asse.

Prendiamo un punto ${\displaystyle \mathbf {P_{i}} }$ del corpo distante ${\displaystyle |\mathbf {r_{i}} |}$ da ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {OP_{i}} =\mathbf {r_{i}} =x_{i}\mathbf {\hat {i}} +y_{i}\mathbf {\hat {j}} +z_{i}\mathbf {\hat {k}} }$

e consideriamo la sua distanza ${\displaystyle R_{i}}$ dall'asse di rotazione

${\displaystyle R_{i}=|\mathbf {\hat {u}} \times \mathbf {r_{i}} |=(\beta z_{i}-\gamma y_{i})\mathbf {\hat {i}} +(\gamma x_{i}-\alpha z_{i})\mathbf {\hat {j}} +(\alpha y_{i}-\beta x_{i})\mathbf {\hat {k}} }$

Allora il momento di inerzia ${\displaystyle I}$ del corpo rispetto all'asse di rotazione sarà

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{R_{i}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {\hat {u}} \times \mathbf {r_{i}} )^{2}}$

${\displaystyle I=I_{x}\alpha ^{2}+I_{y}\beta ^{2}+I_{z}\gamma ^{2}-2I_{xy}\alpha \beta -2I_{yz}\beta \gamma -2I_{zx}\gamma \alpha }$

dove

${\displaystyle I_{x}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})}$

;

${\displaystyle I_{y}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})}$

;

${\displaystyle I_{z}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})}$

sono, rispettivamente, i momenti di inerzia rispetto all'asse ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$; mentre

${\displaystyle I_{xy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}y_{i}}$

;

${\displaystyle I_{yz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}z_{i}}$

;

${\displaystyle I_{zx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}x_{i}}$

vengono detti prodotti di inerzia.

Adesso consideriamo la distanza ${\displaystyle d={\frac {1}{\sqrt {I}}}}$ sull'asse di rotazione, le coordinate saranno date da

${\displaystyle x={\frac {\alpha }{\sqrt {I}}}}$

;

${\displaystyle y={\frac {\beta }{\sqrt {I}}}}$

;

${\displaystyle z={\frac {\gamma }{\sqrt {I}}}}$

Andando a sostituire le coordinate nel momento di inerzia otteniamo come risultato finale

${\displaystyle I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}-2I_{xy}xy-2I_{yz}yz-2I_{zx}zx=1}$

che corrisponde a un ellissoide nello spazio, con centro nel punto ${\displaystyle O}$.

Grazie a questo ellissoide è possibile calcolare il momento di inerzia di un qualsiasi asse di rotazione rispetto a un punto ${\displaystyle O}$ del corpo, indipendentemente dalla forma o dalla distribuzione della massa. Prendendo la retta di un asse di rotazione passante per ${\displaystyle O}$ e calcolando la distanza da ${\displaystyle O}$ all'intersezione con la conica otteniamo ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\bar {I}}}}}$, dove ${\displaystyle {\bar {I}}}$ sarà proprio il momento di inerzia per quell'asse.

• Vladimir Igorevič Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Roma, Editori Riuniti University Press, 2010, pp. 145–148.
• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro e Cesare Voci, Fisica - Volume I, 2ª ed., EdiSES, ISBN 88-7959-137-1.

• Corpo rigido
• Equazioni di Eulero (dinamica del corpo rigido)
• Ellissoide d'inerzia
• Teorema della racchetta da tennis

[1] Un simulatore 3d della dinamica del corpo rigido. È possibile visualizzare l'ellissoide di Poinsot con le relative traiettorie.