Commutatore (matematica)

Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita a un'operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa. I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi, nella teoria degli anelli, nelle algebre di Lie. Nella meccanica quantistica sono usati per formulare il principio di indeterminazione.

L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ è definito come:

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo la cui unità denotiamo con ${\displaystyle e}$. Il commutatore di due elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ del gruppo è l'elemento

${\displaystyle [a,b]:=a^{-1}b^{-1}ab.}$

Si dice che due elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ del gruppo ${\displaystyle G}$ commutano quando ${\displaystyle ab=ba}$. Questo accade se e solo se il loro commutatore è l'unità:

${\displaystyle [a,b]=e.}$

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di ${\displaystyle G}$ è detto sottogruppo dei commutatori o sottogruppo derivato di ${\displaystyle G}$, e spesso si indica con ${\displaystyle [G,G]}$ (o anche ${\displaystyle K(G)}$). Gli elementi di ${\displaystyle [G,G]}$ sono prodotti di un numero finito di commutatori e loro inversi, ossia ogni elemento di ${\displaystyle [G,G]}$ è della forma:

${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\cdot \ldots \cdot [a_{n},b_{n}],\quad {\text{con }}a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in G.}$

Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è triviale, ossia costituito dalla sola unità di ${\displaystyle G}$.

Il sottogruppo commutatore è caratteristico (dunque normale), quindi è sempre definibile il gruppo quoziente ${\displaystyle G/[G,G]}$. Informalmente si può dire che, nella costruzione di questo quoziente, si considerano trascurabili gli elementi che non commutano: risulta infatti che ${\displaystyle G/[G,G]}$ è abeliano. Più precisamente, ${\displaystyle [G,G]}$ è il più piccolo sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$ tale che il quoziente risulti essere abeliano. Questo quoziente viene chiamato l'abelianizzato di ${\displaystyle G}$.

Va segnalato che, in vari testi, il commutatore di due elementi è definito in modo lievemente differente:

${\displaystyle [a,b]_{2}:=aba^{-1}b^{-1}=[a^{-1},b^{-1}].}$

Anche con questa definizione due elementi commutano se e solo se il commutatore è l'unità e si ottiene lo stesso sottogruppo derivato individuato in precedenza.

Sia ${\displaystyle A}$ un anello. Il commutatore di due suoi elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ è l'elemento

${\displaystyle [a,b]:=ab-ba.}$

Due elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ commutano se ${\displaystyle ab=ba}$. Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:

${\displaystyle [a,b]=0.}$

Il commutatore è una funzione bilineare sull'anello:

${\displaystyle [a,b+c]=[a,b]+[a,c];}$

${\displaystyle [a+b,c]=[a,c]+[b,c].}$

Il commutatore è anticommutativo, ossia è una funzione bivariata antisimmetrica:

${\displaystyle [a,b]=-[b,a].}$

Il commutatore è una composizione nilpotente:

${\displaystyle [a,a]=0.}$

Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:

${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.}$

Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibniz:

${\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+b[a,c].}$

Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibniz per la mappa

${\displaystyle D_{a}\colon A\to A,}$

${\displaystyle D_{a}\colon b\mapsto [a,b].}$

che per la suddetta formula si dice rivestire il ruolo di derivazione sull'anello.

Altre relazioni:

${\displaystyle [ab,c]=a[b,c]+[a,c]b;}$

${\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+b[a,c];}$

${\displaystyle [abc,d]=ab[c,d]+a[b,d]c+[a,d]bc.}$

Se ${\displaystyle A}$ è un'algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:

${\displaystyle [\lambda a,b]=\lambda [a,b]=[a,\lambda b].}$

Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in ${\displaystyle A}$ con l'operazione binaria

${\displaystyle (a,b)\mapsto [a,b]}$

si ottiene una nuova struttura di algebra per ${\displaystyle A}$: più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in un'algebra di Lie.

Le matrici ${\displaystyle n\times n}$ su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

Le matrici reali ${\displaystyle n\times n}$ agiscono sullo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$.

In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente ${\displaystyle H}$ è un determinato spazio di funzioni.

Ad esempio, se ${\displaystyle H}$ è uno spazio di funzioni di una variabile ${\displaystyle x}$ a valori complessi, l'operatore posizione moltiplica ogni funzione per ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\hat {x}}:f\mapsto x\cdot f}$

mentre l'operatore di momento è una derivata:

${\displaystyle {\hat {p}}:f\mapsto -i\hslash {\frac {\partial f}{\partial x}}.}$

I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)-\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right){\hat {x}}.}$

Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione ${\displaystyle f(x)}$ e si ottiene il seguente risultato:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]f(x)=x\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)f(x)+i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}{\big (}xf(x){\big )}=}$

${\displaystyle -i\hslash \left[x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)-f(x)-x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)\right]=+i\hslash f(x).}$

Poiché la relazione vale per ogni funzione ${\displaystyle f}$ di ${\displaystyle H}$, si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante ${\displaystyle i\hslash }$:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]:f\mapsto i\hslash f.}$

La generalizzazione di questa relazione in tre dimensioni, con:

${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}=\left\{{{\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}}\right\},{\hat {\textbf {p}}}=\left\{{{\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},{\hat {p}}_{3}}\right\}}$

è la seguente:

${\displaystyle \left[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}\right]=i\hslash \delta _{ij},}$

dove ${\displaystyle \delta _{ij}}$ è la delta di Kronecker.

Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove ${\displaystyle n}$ è un intero maggiore o uguale a zero e ${\displaystyle f(p)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:

• ${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}}$
• ${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}}$
• ${\displaystyle \left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}}$
• ${\displaystyle \left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}}$

Dimostriamo prima la relazione

• ${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}}$

La dimostrazione procede per induzione: la relazione è vera per ${\displaystyle n=1}$, supponiamo che sia vera per qualunque ${\displaystyle n}$ e dimostriamo allora che vale anche per ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle \left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n+1}}\right]={\hat {p}}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]+\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}}\right]{\hat {p}}^{n}=i\hslash n{\hat {p}}{\hat {p}}^{n-1}+i\hslash {\hat {p}}^{n}=i\hslash \left({n+1}\right){\hat {p}}^{n}}$

La dimostrazione di

• ${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}}$

è analoga alla precedente.

Dimostriamo ora la relazione

• ${\displaystyle \left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}}$

Utilizzando lo sviluppo di Taylor possiamo scrivere

${\displaystyle f\left(p\right)=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}p^{n}}}$

da cui otteniamo

${\displaystyle \left[{{\hat {x}},f\left({\hat {p}}\right)}\right]=\left[{{\hat {x}},\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}}\right]=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]=i\hslash \sum \limits _{n}{\alpha _{n}n{\hat {p}}^{n-1}=i\hslash {\frac {\partial }{\partial p}}\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}=}}i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}}$

La dimostrazione di

• ${\displaystyle \left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}}$

è analoga alla precedente.

• Algebra supercommutativa
• Operazione commutativa

• (EN) Eric W. Weisstein, Commutatore, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Commutatore, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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