Spazio di Fréchet

In matematica, uno spazio di Fréchet è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso che è completo rispetto a una metrica invariante sotto traslazione. Tali spazi prendono il nome dal matematico Maurice Fréchet. Sono diversi gli esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Fréchet, tra i più rilevanti gli spazi di Banach, che sono completi rispetto alla metrica indotta dalla norma.

Gli spazi di Fréchet possono essere definiti in due modi equivalenti: il primo utilizza una metrica invariante sotto traslazione, il secondo una famiglia numerabile di seminorme.

Uno spazio vettoriale topologico ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

• è localmente convesso;
• la sua topologia può essere indotta da una metrica invariante rispetto a traslazioni, cioè una distanza ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ tale per cui ${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$ per tutti gli ${\displaystyle a,x,y\in X,}$ questo significa che ${\displaystyle U\subset X}$ è aperto se e solo se per ogni ${\displaystyle u\in U}$ esiste ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tale che ${\displaystyle \{v:d(u,v)<\varepsilon \}\subset U;}$
• è uno spazio metrico completo.

Si nota che non vi è una nozione naturale di distanza tra due punti di uno spazio di Fréchet: differenti metriche invarianti sotto traslazione possono infatti indurre la medesima topologia.

In modo equivalente, uno spazio vettoriale topologico ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

• è uno spazio di Hausdorff;
• la sua topologia può essere indotta da una famiglia numerabile di seminorme ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$, con ${\displaystyle k}$ intero non negativo, questo significa che ${\displaystyle U\subset X}$ è aperto se e solo se per ogni ${\displaystyle u\in U}$ esistono ${\displaystyle K\geq 0}$ e ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tali che ${\displaystyle \{v:\|u-v\|_{k}<\varepsilon \ \forall k\leq K\}\subset U}$;
• è completo rispetto alla famiglia di seminorme.

Una successione ${\displaystyle (x_{n})\in X}$ converge a ${\displaystyle x}$ nello spazio di Fréchet definito da una famiglia di seminorme se e solo se converge a ${\displaystyle x}$ rispetto a ognuna delle seminorme.

La seminorma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ è una funzione definita da uno spazio vettoriale ${\displaystyle X}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e che soddisfa le tre seguenti proprietà per tutti i vettori ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle X}$ e per ogni scalare ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle \|x\|\geq 0;}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|;}$

${\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|.}$

Se ${\displaystyle \|x\|=0}$ implica ${\displaystyle x=0}$, allora ${\displaystyle \|\cdot \|}$ è di fatto una norma.

Le seminorme consentono di costruire spazi di Fréchet partendo da uno spazio vettoriale ${\displaystyle X}$, sul quale si definisce una famiglia numerabile di seminorme ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$ con le seguenti proprietà:

• se ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle \|x\|_{k}=0}$ per ${\displaystyle k\geq 0}$, allora ${\displaystyle x=0;}$
• se ${\displaystyle (x_{n})}$ è una successione in ${\displaystyle X}$ che è una successione di Cauchy rispetto ad ogni seminorma ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$, allora esiste ${\displaystyle x\in X}$ tale che ${\displaystyle (x_{n})}$ converge a ${\displaystyle x}$ rispetto ad ogni seminorma ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}.}$

La topologia indotta dalla famiglia numerabile di seminorme rende ${\displaystyle X}$ uno spazio di Fréchet: la prima proprietà assicura che sia uno spazio di Hausdorff mentre la seconda che sia completo.

La medesima topologia può essere generata utilizzando una metrica completa invariante sotto traslazione definita da:

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}},}$

per ogni ${\displaystyle x,y\in X.}$ Si nota che la funzione ${\displaystyle u\to u/(1+u)}$ mappa ${\displaystyle [0,\infty )}$ in ${\displaystyle [0,1)}$ in modo monotono, e dunque la precedente definizione assicura che la distanza ${\displaystyle d(x,y)}$ è "piccola" se e solo se esiste ${\displaystyle K}$ abbastanza "grande" da fare in modo che ${\displaystyle \|x-y\|_{k}}$ sia "piccola" per ${\displaystyle k=0,\dots ,K}$.

Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono spazi di Fréchet, allora lo spazio ${\displaystyle L(X,Y)}$ degli operatori lineari continui da ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$ non è uno spazio Fréchet. Questa è la maggiore distinzione tra la teoria degli spazi di Banach e quella degli spazi di Fréchet, che necessitano di una differente definizione di differenziazione con continuità: la derivata di Gâteaux.

Siano ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ spazi di Fréchet, ${\displaystyle U}$ un aperto di ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle P:U\to Y}$ una funzione, ${\displaystyle x\in U}$ e ${\displaystyle h\in X}$. Si dice che ${\displaystyle P}$ è una funzione differenziabile in ${\displaystyle x}$ nella direzione ${\displaystyle h}$ se esiste il limite:

${\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}{\Big (}P(x+th)-P(x){\Big )}}$

Si dice che ${\displaystyle P}$ è differenziabile con continuità in ${\displaystyle U}$ se ${\displaystyle D(P):U\times X\to Y}$ è una funzione continua. Se ${\displaystyle P:U\to Y}$ è differenziabile con continuità allora l'equazione differenziale:

${\displaystyle x'(t)=P(x(t))\qquad x(0)=x_{0}\in U}$

non ha necessariamente soluzioni, e se esistono possono non essere uniche. Questo è in forte contrasto con la situazione negli spazi di Banach.

Il teorema della funzione inversa non è valido in spazi di Fréchet: un suo parziale sostituto è il teorema di Nash-Moser.

• (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, 2ª ed., New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0070542368.
• (EN) Bourbaki, Topological vector spaces, Springer (1987) (Translated from French)
• (EN) J.L. Kelley, I. Namioka, Linear topological spaces, Springer (1963)
• (EN) G. Köthe, Topological vector spaces, 1, Springer (1969)

• Distanza (matematica)
• Seminorma
• Spazio vettoriale topologico
• Spazio localmente convesso
• Spazio di Banach

• Frechet, spazio di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di Fréchet, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) V.M. Tikhomirov, Fréchet space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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