Tala (stærðfræði)

Tala er eining sem notuð er til þess að lýsa fjölda og/eða magni. Einfaldasta form talna eru náttúrulegar tölur {0, 1, 2, 3,..} eða {1, 2, 3,..}, sem eru notaðar við talningu og er mengi þeirra táknað N. Deilt er um það hvort 0 tilheyri náttúrulegum tölum eða ekki. Ef neikvæðar heiltölur eru teknar með er komið heiltölumengið Z. Séu hlutföll talna tekin með, og þar af leiðandi brot, eru komnar ræðar tölur, Q. Þó eru ekki allar tölur ræðar, sumar (eins og pí) eru endalausar, eða óræðar. Sammengi ræðra talna og óræðra nefnist mengi rauntalna, R. Þar sem ekki er hægt að leysa öll algebraísk vandamál með rauntölum eingöngu er mengi rauntalna víkkað út á tvinntölusléttuna. Mengi tvinntalna er táknað með C. Áður fyrr tíðkaðist að skrifa nöfn þessara mengja feitletrað á krítartöflur, og hefðinni hefur verið haldið uppi með smá stílfæringu. Þannig má setja upp talnamengin svona:

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$

Tvinntölur má svo útvíkka í fertölur þar sem víxlreglan gildir ekki um margföldun. Fertölur má svo lengja í átttölur, en þá glatast önnur regla, tengireglan.

Tölur eru samsettar úr tölustöfum, sem er raðað eftir reglum talnakerfisins, sem notað er. Talnakerfið með grunntöluna 10 er einna algengast, svonefnt tugakerfi, líklega vegna þess að maðurinn hefur tíu fingur, sem nota má til að telja með. Rómverjar notuðu rómverska tölustafi, sem myndaðir voru úr hópum með 1, 5, 10, 50, 100, 500 og 1000 einingum. Babýlóníumenn byggðu talnakerfi sitt upp á tölunni 60 (sextugakerfi), en leifar þess má sjá á klukkum: 60 mínútur í klukkustund og 60 sekúndur í mínútu og í bogamál: 360 (60*6) gráður í heilum hring. Keltar notuðust lengi við grunntöluna 12 (tylftakerfi), sem enn er notað sem grunneining mælinga í Bandaríkjunum.

Allar tölur eru endanlegar, en í örsmæðareikningi hefur reynst nauðsynlegt að víkka út rauntalnaásinn, þ.a. hann innihaldi stökin plús og mínus óendanlegt. (Sjá útvíkkaði rauntalnaásinn.)

Mjög mörg mál hafa sömu grunnhugmynd að talningu. Í rómverskum tölustöfum var talið I, II, III, IV, V. Rómversku tölurnar tákna 4 sem IV - „einum minna en fimm“.

Í kínversku, japönsku og öðrum málum sem nota kínverskar táknmyndir eru fyrstu tölurnar svipaðar, nema lárétt (一, 二, 三, 士, 五).

Súmerar notuðu misjafnan fjölda fleyga („<“) til þess að tákna tölur, og voru allt að fimm fleygum í hóp áður en annars kyns tákn sýndi tug (sex-tuga kerfi þeirra byggðist á grunntölunni 60).

Pí — Googol — Googolplex — Prímtölur — Fibonacci runan — Stórar tölur — Smáar tölur — Staðalform — Avogadrosartalan — Stærðfræðilegur fasti

Vingjarnlegar tölur og fullkomnar tölur eru áhugaverðir flokkar heilla talna og margir fleiri slíkir eru til.