Rangala relato

Rangala relato en ensemblo E es binara relato en ta ensemblo ke permesas di komparar sua elementi inter li di koheranta maniero. Ensemblo provizita di Rangala relato es ranga ensemblo o simple rango.

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• Reflektita : binara relato ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es :

• reflekiva, kad ol pozas omni elementi en relato nam li mem, to es kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\ x{\mathcal {R}}x\,}$

• nereflektiva, kad ula elemento es en relato nam li mem, to esas kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\ x\not \!\,{\mathcal {R}}x\,}$

• senreflektiva en la altra kazi.

• Simetreso : binara relato ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es imajo di sua imaji, to es kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\ (x{\mathcal {R}}y)\Rightarrow (y{\mathcal {R}}x)\,}$

• (febla) antisimetreso, kad la distingata elementi ne es ul-tempe en reciproka relato, to es kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}x)]\Rightarrow [x=y]\,}$

• dis-simetreso n la altra kazi.

• • relato ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ esos forte antisimetreso (o sensimetreso) kad ula duo di elementi, distingata o ne, es ul-tempe en reciproka, to es kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\ (x{\mathcal {R}}y)\Rightarrow (y\not \!\,{\mathcal {R}}x)\,}$

on povas montrar ke ol es equivalanta per binara relato di esar forte antisimetreso o di esar febla antisimetreso e senreflektiva.

• Transitivita : binara relato ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es :

• transitiva, kad omni elemento es imajo di omna antecedento di sua antecedenti, to es kande kad elemento es imajo di altra elemento, lore omni sua imaji es imaji di ta altra elemento, o ankore kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [x{\mathcal {R}}z]\,}$

• antitransitiva, kad omna elemento es imajo di ul-tempe antecedento di sua antecedenti, to esas kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [x\not \!\,{\mathcal {R}}z]\,}$

• cirkulero, kad omna elemento es antecedento di sua antecedenti, to es kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [z{\mathcal {R}}x]\,}$

• anticirkulero, kad omna elemento es antecedento ul-tempe antecedento di sua antecedenti, to es kad :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [z\not \!\,{\mathcal {R}}x]\,}$

Por permisar la komparo di elementi, binara relati devas ante esar antisimetreso ; por kam ta komparo es koheranta per l'ensemblo di elementi, ol facas ke la relato sive anke transitiva.