Uji turunan

Dalam kalkulus, uji turunan menggunakan turunan dari fungsi untuk menemukan titik-titik kritis fungsi dan menentukan apakah setiap titik tersebut adalah titik maksimum lokal, titik minimum lokal, atau titik pelana. Uji turunan juga dapat memberikan informasi mengenai kecekungan fungsi.

Kegunaan turunan untuk menemukan titik-titik kritis dibuktikan secara matematis oleh teorema Fermat titik stasioner.

Uji turunan pertama menguji sifat-sifat kemonotonan dari fungsi (apakah fungsi menaik atau menurun), dengan berfokus pada suatu titik tertentu dalam domain fungsi tersebut. Jika nilai fungsi "berganti" dari menaik menjadi menurun pada titik tertentu, maka fungsi mencapai suatu nilai tertinggi pada titik itu. Dengan cara yang serupa, jika nilai fungsi "berganti" dari menurun ke menaik pada titik tersebut, maka fungsi mencapai sebuah nilai terendah pada titik itu. Jika nilai fungsi tidak pernah "berganti", selalu menaik atau menurun, maka tidak ada nilai tertinggi atau terendah yang dicapai oleh fungsi.

Seseorang dapat menentukan kemonotonan sebuah fungsi tanpa menggunakan kalkulus. Namun, kalkulus biasanya berguna karena terdapat syarat cukup yang menjamin sifat-sifat kemonotonan di atas, dan syarat-syarat ini berlaku untuk sebagian besar fungsi yang umum ditemui.

Dinyatakan secara formal, misalkan ${\displaystyle f}$ adalah fungsi kontinu bernilai real dari sebuah variabel real, dan terdefinisi pada beberapa selang terbuka yang mengandung titik ${\displaystyle x}$.

• Jika terdapat sebuah bilangan positif ${\displaystyle r>0}$ sehingga ${\displaystyle f}$ menaik dengan lemah pada ${\displaystyle (x-r,x]}$ dan menurun dengan lemah pada ${\displaystyle [x,x+r)}$, maka ${\displaystyle f}$ memiliki sebuah maksimum lokal di ${\displaystyle x}$. Pernyataan ini juga bekerja sebaliknya: jika ${\displaystyle x}$ adalah sebuah maksimum lokal, maka ${\displaystyle f}$ menaik dengan lemah pada ${\displaystyle (x-r,x]}$ dan menurun dengan lemah pada ${\displaystyle [x,x+r)}$.
• Jika terdapat sebuah bilangan positif ${\displaystyle r>0}$ sehingga ${\displaystyle f}$ menaik dengan tegas pada ${\displaystyle (x-r,x]}$ dan juga menaik dengan tegas pada ${\displaystyle [x,x+r)}$, maka ${\displaystyle f}$ menaik dengan tegas pada ${\displaystyle (x-r,x+r)}$ dan tidak mempunyai sebuah maksimum atau minimum lokal di ${\displaystyle x}$.

Pernyataan ini merupakan sebuah konsekuensi langsung dari cara ekstrem lokal didefinisikan. Yakni, jika ${\displaystyle x_{0}}$ adalah sebuah titik maksimum lokal, maka terdapat ${\displaystyle r>0}$ sehingga ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$ untuk nilai ${\displaystyle x}$ pada selang ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0}+r)}$, yang mengartikan bahwa ${\displaystyle f}$ harus menaik dari ${\displaystyle x_{0}-r}$ ke ${\displaystyle x_{0}}$ dan harus menurun dari ${\displaystyle x_{0}}$ ke ${\displaystyle x_{0}+r}$, karena ${\displaystyle f}$ kontinu.

Perhatikan untuk dua kasus yang pertama, ${\displaystyle f}$ tidak diperlukan menaik atau menurun dengan tegas di sekitar nilai ${\displaystyle x}$, sedangkan untuk dua kasus terakhir, ${\displaystyle f}$ diperlukan menaik atau menurun dengan tegas. Alasannya terletak pada definisi maksimum dan minimum lokal, yang tidak memerlukan pertidaksamaan yang tegas: misalnya setiap nilai pada fungsi konstanta dianggap sebuah maksimum lokal sekaligus minimum lokal.

Uji turunan pertama bergantung pada "uji menaik–menurun", yang pada akhirnya merupakan sebuah konsekuensi dari teorema nilai purata. Ini adalah sebuah konsekuensi langsung dari cara turunan didefinisikan dan hubungannya untuk menurunkan dan menaikkan sebuah fungsi secara lokal, digabungkan dengan bagian sebelumnya.

Misalkan ${\displaystyle f}$ adalah sebuah fungsi bernilai real dari sebuah variabel real dan didefinisikan pada beberapa interval yang berisi titik kritis ${\displaystyle a}$. Selanjutnya misalkan ${\displaystyle f}$ kontinu pada ${\displaystyle a}$ dan dapat didiferensialkan pada beberapa selang terbuka yang berisi ${\displaystyle a}$, kecuali mungkin pada titik ${\displaystyle a}$ sendiri.

• Jika terdapat sebuah bilangan positif ${\displaystyle r>0}$, sehingga untuk setiap ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle (a-r,a)}$ kita memiliki ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$, dan untuk setiap ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle (a,a+r)}$ kita memiliki ${\displaystyle f^{\prime }(x)\leq 0}$, maka ${\displaystyle f}$ mempunyai sebuah maksimum lokal di ${\displaystyle a}$.
• Jika terdapat sebuah bilangan positif ${\displaystyle r>0}$, sehingga untuk setiap ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle (a-r,a)\cup (a,a+r)}$ kita memiliki ${\displaystyle f'(x)>0}$, maka ${\displaystyle f}$ menaik dengan tegas di ${\displaystyle a}$ dan tidak mempunyai sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal di interval ini.
• Jika tidak ada syarat di atas yang dipenuhi, maka uji turunan pertama gagal (hal ini mungkin terjadi, karena terdapat fungsi yang tidak memenuhi dari tiga kondisi pertama, yaitu ${\displaystyle \textstyle f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$).

Lagi, sesuai dengan ulasan di bagian sifat-sifat kemonotonan, perhatikan bahwa dua kasus pertama, pertidaksamaan tidak diperlukan tegas, sedangkan dalam dua kasus selanjutnya, pertidaksamaan yang tegas dibutuhkan.

Uji turunan pertama berguna dalam penyelesaian masalah optimisasi dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Disertai dengan penggunaan teorema nilai ekstrem, uji ini dapat digunakan untuk mencari maksimum atau minimum mutlak dari fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu interval yang terbuka dan terbatas. Terlebih lagi, dengan disertai informasi lainnya seperti kecekungan, titik belok, dan asimtotik, uji ini dapat digunakan untuk menggambar grafik dari fungsi.

Setelah menemukan titik-titik kritis dari fungsi, uji turunan kedua menggunakan nilai dari turunan kedua pada titik-titik itu untuk menentukan apakah titik tersebut adalah sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal. Jika fungsi ${\displaystyle f}$ dapat diturunkan dua kali pada suatu titik kritis ${\displaystyle x}$ (yaitu, sebuah titik dengan ${\displaystyle f'(x)=0}$), maka:

• Jika ${\displaystyle f''(x)<0}$, maka ${\displaystyle f}$ memiliki sebuah maksimum lokal pada ${\displaystyle x}$.
• Jika ${\displaystyle f''(x)>0}$, maka ${\displaystyle f}$ mempunyai sebuah minimum lokal pada ${\displaystyle x}$.
• Jika ${\displaystyle f''(x)=0}$, maka hasil uji ini tidak meyakinkan.

Untuk kasus terakhir, teorema Taylor dapat digunakan untuk menentukan perilaku ${\displaystyle f}$ di sekitar nilai ${\displaystyle x}$ dengan menggunakan turunan tingkat tinggi.

Misalkan kita mempunyai ${\displaystyle f''(x)>0}$ (bukti untuk ${\displaystyle f''(x)<0}$ analog). Dengan asumsi, ${\displaystyle f'(x)=0}$. Maka

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}}$

Dengan demikian, untuk ${\displaystyle h}$ yang cukup kecil kita mendapatkan

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0}$,

yang mengartikan ${\displaystyle f'(x+h)<0}$ jika ${\displaystyle h<0}$ (secara intuitif, ${\displaystyle f}$ menurun karena mendekati ${\displaystyle x}$ dari kiri), dan bahwa ${\displaystyle f'(x+h)>0}$ jika ${\displaystyle h>0}$ (secara intuitif, ${\displaystyle f}$ menurun karena mendekati ${\displaystyle x}$ dari kanan). Sekarang, dengan uji turunan pertama, ${\displaystyle f}$ mempunyai sebuah maksimum lokal di ${\displaystyle x}$.

Sebuah penggunaan turunan kedua yang terkait namun berbeda adalah untuk menentukan apakah fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah di sebuah titik. Namun uji ini tidak menyediakan informasi mengenai titik belok. Khususnya, sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ yang diturunkan dua kali cekung ke atas jika ${\displaystyle f''(x)>0}$ dan cekung ke bawah jika ${\displaystyle f''(x)<0}$. Perhatikan bahwa jika ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$, maka ${\displaystyle x=0}$ memiliki nol turunan kedua, namun bukan sebuah titik belok, jadi turunan kedua sendiri tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan apakah sebuah titik yang diberikan merupakan sebuah titik belok.

Uji turunan tingkat tinggi atau uji turunan umum dapat menentukan apakah sebuah titik kritis fungsi adalah maksimum, minimum, atau titik belok untuk variasi fungsi yang lebih banyak daripada uji turunan orde-kedua. Seperti yang ditunjukkan di bawah, uji turunan kedua secara matematis identik ke kasus khusus untuk ${\displaystyle n=1}$ dalam uji turunan tingkat tinggi.

Misalkan ${\displaystyle f}$ sebagai fungsi bernilai real, dan dapat diturunkan secukupnya pada suatu interval ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$. Misalkan pula ${\displaystyle c\in I}$, dan ${\displaystyle n\geq 1}$ sebagai sebuah bilangan asli. Juga misalkan semua turunan (termasuk turunan ke-${\displaystyle n}$) dari ${\displaystyle f}$ di ${\displaystyle c}$ bernilai nol, sedangkan turunan ke-(${\displaystyle n+1}$) bernilai tak nol.

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0}$ dan ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)\neq 0}$.

Terdapat empat kemungkinan, dua kasus pertama mengartikan ${\displaystyle c}$ adalah sebuah titik ekstrem, sedangkan dua kasus selanjutnya mengartikn ${\displaystyle c}$ adalah sebuah titik pelana (lokal):

• Jika ${\displaystyle n}$ ganjil dan ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$, maka ${\displaystyle c}$ adalah sebuah maksimum lokal
• Jika ${\displaystyle n}$ ganjil dan ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$, maka ${\displaystyle c}$ adalah sebuah minimum lokal
• Jika ${\displaystyle n}$ genap dan ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$, maka ${\displaystyle c}$ adalah sebuah titik belok yang menurun sempurna.
• Jika ${\displaystyle n}$ genap dan ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$, maka ${\displaystyle c}$ adalah sebuah titik belok yang menaik sempuna.

Karena ${\displaystyle n}$ harus berupa ganjil atau genap, uji analitik ini akan mengelompokkan semua titik stasioner ${\displaystyle f}$; selama turunan pada akhirnya bernilai tidak sama dengan nol.

Katakan, kita akan mengerjakan uji turunan umum pada fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$ pada titik ${\displaystyle x=0}$. Untuk melakukan ini, kita menghitung turunan dari fungsi dan kemudian mengevaluasinya pada titik-titik yang diinginkan hingga memiliki nilai bukan nol.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=6x^{5},\quad f'(0)=0\\f''(x)&=30x^{4},\quad f'(0)=0\\f'''(x)&=120x^{3},\quad f'(0)=0\\f^{(4)}(x)&=360x^{2},\quad f'(0)=0\\f^{(5)}(x)&=720x,\quad f'(0)=0\\f^{(6)}(x)&=720,\quad f'(0)=720\end{aligned}}}$

Seperti yang ditunjukkan di atas, pada titik ${\displaystyle x=0}$, fungsi ${\displaystyle x^{6}+5}$ memiliki semua turunan di titik 0 bernilai sama dengan 0, kecuali untuk turunan ke-6, yang hasilnya positif. Dengan demikian, ${\displaystyle n=5}$, dan oleh uji tersebut, fungsi ${\displaystyle x^{6}+5}$ memiliki sebuah minimum lokal di 0.

Untuk sebuah fungsi yang lebih dari satu variabel, uji turunan kedua diperumum menjadi sebuah uji berdasarkan nilai-nilai eigen dari matriks Hesse fungsi pada titik kritis. Khususnya, mengasumsikan bahwa semua turunan parsial orde-kedua ${\displaystyle f}$ kontinu pada sebuah lingkungan titik kritis ${\displaystyle x}$, dan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di ${\displaystyle x}$ semuanya bernilai positif, maka ${\displaystyle x}$ adalah sebuah minimum lokal. Sedangkan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di ${\displaystyle x}$ semuanya bernilai negatif, maka ${\displaystyle x}$ adalah sebuah maksimum lokal. Namun jika beberapa nilai eigen bernilai positif dan beberapa bernilai negatif, maka titik tersebut adalah sebuah titik pelana. Pada kasus matriks Hesse merupakan matriks singular, maka uji turunan kedua tidak meyakinkan.

• Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (edisi ke-Third). New York: McGraw-Hill. hlm. 231–267. ISBN 0-07-010813-7. 
• Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan (1985). Calculus I (edisi ke-2nd). New York: Springer. hlm. 139–199. ISBN 0-387-90974-5. 
• Shockley, James E. (1976). The Brief Calculus : with Applications in the Social Sciences (edisi ke-2nd). New York: Holt, Rinehart & Winston. hlm. 77–109. ISBN 0-03-089397-6. 
• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (edisi ke-6th). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8. 
• Willard, Stephen (1976). Calculus and its Applications. Boston: Prindle, Weber & Schmidt. hlm. 103–145. ISBN 0-87150-203-8. 
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)

• "Tes Turunan Kedua" di Mathworld
• Konkavitas dan Tes Turunan Kedua
• Thomas Penggunaan Tes Turunan Kedua oleh Simpson untuk Menemukan Maxima dan Minima pada Konvergensi