Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/1

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Prime number di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan hasilkali dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Misalnya, 5 adalah bilangan prima karena 5 dapat ditulis sebagai ${\displaystyle 1\times 5}$ atau ${\displaystyle 5\times 1}$, sedangkan 4 bukanlah bilangan prima karena hasilkalinya (${\displaystyle 2\times 2}$), dengan kedua bilangan lebih kecil dari 4. Bilangan prima merupakan bagian pusat dari teori bilangan karena melibatkan teorema dasar aritmetika: setiap bilangan asli lebih besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau dapat difaktorkan sebagai hasil kali tunggal hingga urutannya.

Sifat-sifat yang menjadikan bilangan prima disebut primalitas. Metode sederhana namun lambat yang memeriksa primalitas untuk bilangan ${\displaystyle n}$, disebut pembagian percobaan. Metode ini menguji apakah ${\displaystyle n}$ kelipatan dari suatu bilangan bulat antara ${\displaystyle 2}$ dan ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Algoritma lebih cepatnya adalah uji primalitas Miller–Rabin, algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat kecil; dan uji primalitas Agrawal–Kayal–Saxena, algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar dalam waktu polinomial, namun sangat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia dalam bilangan bentuk khusus, seperti bilangan Mersenne. Hingga pada Desember 2018, bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne dengan 24.862.048 digit.^[1]

Sekitar 300 SM, Euklides menjelaskan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Tidak ada rumus sederhana yang memisahkan bilangan prima dari bilangan komposit. Akan tetapi, sebaran bilangan prima dalam jumlah bilangan asli yang sangat banyak dapat digambar secara statistik. Hasil pertama sebaran bilangan prima tersebut mengarah pada teorema bilangan prima, yang dibuktikan pada akhir abad ke-19. Teorema ini mengatakan bilangan terbesar yang dipilih secara acak menjadi bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digitnya, yaitu logaritma.

Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan konjektur bilangan prima kembar, menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan analitik atau bilangan aljabar. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam teknologi informasi, seperti kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam aljabar abstrak, objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya elemen bilangan prima dan ideal bilangan prima.

Bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan bilangan prima jika bilangan asli lebih besar dari 1 dan tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan komposit.^[2] Dengan kata lain, ${\displaystyle n}$ dikatakan bilangan prima jika terdapat ${\displaystyle n}$ benda tidak dapat dibagi menjadi kelompok dengan jumlah yang sama, yang terdiri dari satu benda.^[3] Bilangan prima juga diilustrasikan sebagai susunan ${\displaystyle n}$ titik menjadi persegi panjang yang lebar dan tingginya lebih dari satu titik.^[4] Misalnya, bilangan di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5;^[5] karena tidak ada bilangan lain yang membagi ketiga bilangan tersebut tanpa adanya sisa. 1 bukan bilangan prima, karena merupakan pengecualian yang khusus dalam definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 merupakan bilangan komposit.

Pembagi bilangan asli ${\displaystyle n}$ adalah bilangan asli yang membagi ${\displaystyle n}$ sama rata. Pembagi pada setiap bilangan asli tersebut adalah 1 dan dirinya sendiri. Jika ${\displaystyle n}$ memiliki pembagi lain, maka ${\displaystyle n}$ bukanlah bilangan prima. Gagasan ini merujuk ke sebuah definisi bilangan prima yang berbeda namun ekuivalen: terdapat bilangan setidaknya dua pembagi bilangan positif, 1 dan dirinya sendiri.^[6] Ada cara lain untuk menjelaskan hal tersebut, yaitu: ${\displaystyle n}$ adalah bilangan prima jika ${\displaystyle n}$ lebih besar dari 1 dan tidak ada bilangan ${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$ yang membagi ${\displaystyle n}$ sama rata.^[7]

Berikut adalah 25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima yang lebih kecil dari 100):^[8]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97 (barisan A000040 pada OEIS).

Bilangan genap ${\displaystyle n}$ yang lebih besar dari 2 bukanlah bilangan prima karena bilangannya dapat dibentuk sebagai hasil kali ${\textstyle 2\times {\frac {n}{2}}}$. Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 adalah bilangan ganjil, dan bilangan tersebut disebut bilangan prima ganjil.^[9] Ketika ditulis dalam sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 berakhir dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Bilangan yang berakhir dengan digit satuan yang berbeda adalah bilangan komposit: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah bilangan genap, dan bilangan desimal yang berakhir dengan digit satuan 0 dan 5 habis dibagi 5.^[10]

Himpunan bilangan prima terkadang dilambangkan ${\displaystyle \mathbf {P} }$^[11] atau ${\displaystyle \mathbb {P} }$.^[12]

Sekitar 1550 SM, Papirus Matematika Rhind memiliki perluasan pecahan Mesir dalam bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan bilangan komposit.^[13] Namun, catatan sejarah paling awal yang mempelajari bilangan prima dengan eksplisit berasal dari matematika Yunani kuno. Sekitar 300 SM, Elemen Euklides membuktikan ketakterhinggaan bilangan prima dan teorema dasar aritmetika, serta menunjukkan bagaimana mengagaskan bilangan sempurna melalui bilangan Mersenne.^[14] Penemuan asal Yunani lainnya, tapis Eratosthenes, masih dipakai untuk menulis daftar bilangan prima.^[15][16]

Sekitar 1000 M, matematikawan Islam Ibn al-Haytham (Alhazen) menemukan teorema Wilson yang mencirikan bilangan prima sebagai bilangan ${\displaystyle n}$ yang membagi ${\displaystyle (n-1)!+1}$ sama rata. Beliau juga menduga bahwa bilangan sempurna genap berasal dari gagasan Euklides melalui bilangan prima Mersenne, namun tidak dapat membuktikannya.^[17] Matematikawan Islam lainnya, Ibn al-Banna' al-Marrakushi, mengamati bahwa saringan Eratosthenes dapat dipercepat hanya dengan menguji pembaginya hingga akar kuadrat dari bilangan terbesar yang akan diuji. Fibonacci mulai memberikan penemuan matematikan Islam ke Eropa. Bukunya Liber Abaci (1202) pertama kali menjelaskan pembagian percobaan mengenai uji primalitas dengan menggunakan pembagi hingga akar kuadrat.^[16]

Pada tahun 1640, Pierre de Fermat menyatakan teorema kecil Fermat tanpa bukti, yang kemudian dibuktikan oleh Leibniz dan Euler.^[18] Fermat juga meneliti primalitas dari bilangan Fermat ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$.^[19] Marin Mersenne mempelajari bilangan Mersenne, bilangan prima dalam bentuk ${\displaystyle 2^{p}-1}$ dengan ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima itu sendiri.^[20] Dalam suratnya tahun 1742 untuk Euler, Christian Goldbach merumuskan konjektur Goldbach bahwa setiap bilangan genap merupakan jumlah dari dua bilangan prima.^[21] Euler membuktikan konjektur Alhazen (saat ini disebut teorema Euklides–Euler) bahwa semua bilangan genap dapat dibentuk melalui bilangan Mersenne.^[14] Ia memperkenalkan metode dari analisis matematis ke cabang ini dalam bukti ketakterhinggaan bilangan prima dan kedivergenan jumlah timbal-balik bilangan prima ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$.^[22] Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa ketika ${\displaystyle x}$ menuju ke takhingga, jumlah bilangan prima hingga ${\displaystyle x}$ asimptotik ke ${\displaystyle {\tfrac {x}{\log x}}}$, dengan ${\displaystyle \log x}$ melambangkan logaritma natural dari ${\displaystyle x}$. Versi lemah postulat Bertrand yang mengatakan bahwa untuk setiap ${\displaystyle n>1}$, terdapat bilangan prima di antara ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle 2n}$, dibuktikan oleh Pafnuty Chebyshev pada tahun 1852.^[23] Gagasan Bernhard Riemann dalam makalahnya tahun 1859 tentang fungsi zeta menggambarkan sebuah garis besar dalam membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Walaupun gagasannya yang berkaitan dengan hipotesis Riemann masih belum terpecahkan, tetapi garis besar Riemann diselesaikan oleh Hadamard dan de la Vallée Poussin pada tahun 1896, dan hasilnya saat ini dikenal sebagai teorema bilangan prima.^[24] Hasil penting lainnya pada abad ke-19 adalah teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, barisan aritmetika pasti memuat tak berhingga banyaknya bilangan prima.^[25]

Para matematikawan telah mengerjakan uji primalitas untuk bilangan yang lebih besar dari bilangan yang pembagian trialnya dapat dipakai. Metode yang membatasi bentuk bilangan khusus di antaranya uji Pépin untuk bilangan Fermat (1877),^[26] teorema Proth (sekitar 1878),^[27] uji primalitas Lucas–Lehmer (berasal dari 1856), dan uji primalitas Lucas rampat.^[16]

Sejak tahun 1951, semua bilangan prima terbesar yang diketahui telah ditemukan menggunakan uji komputer.^[a] Pencarian bilangan prima paling terbesar menghasilkan ketertarikan di luar bidang matematika, melalui Great Internet Mersenne Prime Search dan proyek komputasi terdistribusi lainnya.^[8][29] Gagasan yang katanya bahwa bilangan prima mempunyai beberapa penerapan di luar cabang matematika murni^[b] was shattered in the 1970s when public-key cryptography and the RSA cryptosystem were invented, using prime numbers as their basis.^[32]

The increased practical importance of computerized primality testing and factorization led to the development of improved methods capable of handling large numbers of unrestricted form.^[15][33][34] The mathematical theory of prime numbers also moved forward with the Green–Tao theorem (2004) that there are arbitrarily long arithmetic progressions of prime numbers, and Yitang Zhang's 2013 proof that there exist infinitely many prime gaps of bounded size.^[35]

Hampir seluruh matematikawan Yunani kuno bahkan tidak menganggap 1 sebagai bilangan,^[36][37] sehingga mereka tidak menganggap primalitas. Beberapa matematikawan pada kala ini juga menganggap bilangan prima adalah subpembagian bilangan ganjil, sehingga mereka menganggap 2 bukanlah bilangan prima. Namun, Euklides dan sebagian besar matematikawan Yunani lainnya menganggap 2 sebagai bilangan prima. Sebagian besar matematikawan Islam pada abad pertengahan mengikuti pandangan matematikawan Yunani bahwa 1 bukanlah sebuah bilangan.^[36] Pada masa abad pertengahan dan masa Reinsans, para matematikawan mulai memperlakukan 1 sebagai bilangan, dan ada pula dari mereka memperlakukan 1 sebagai bilangan prima pertama.^[38] Dalam suratnya untuk Leonhard Euler pada pertengahan abad ke-18, Christian Goldbach menganggap 1 sebagai bilangan prima; namun Euler tidak.^[39] Pada abad ke-19, banyak para matematikawan masih menganggap 1 sebagai bilangan prima,^[40] dan yang memuat 1 sebagai daftar bilangan prima terus diterbitkan hingga tahun 1956.^[41][42]

Jika definisi bilangan prima mengatakan bahwa 1 adalah bilangan prima, maka banyak pernyataan yang melibatkan bilangan prima akan ditulis ulang dalam cara yang aneh. Sebagai contoh, teorema dasar aritmetika akan perlu ditulis ulang dalam bentuk faktorisasi menjadi bilangan prima lebih besar dari 1, karena setiap bilangan mempunyai banyak kelipatan dengan jumlah salinan dari 1 yang berbeda.^[40] Mirip dengan contoh sebelumnya, saringan Eratosthenes tidak akan bekerja dengan benar jika saringan tersebut memperlakukan 1 sebagai sebuah bilangan prima, karena saringan Eratosthenes akan mengeliminasi semua kelipatan 1 (yaitu semua bilangan lainnya) dan memberikan hasil hanya satu bilangan saja, yaitu 1.^[42] Ada beberapa sifat bilangan prima lebih teknis yang juga tidak berlaku untuk 1, sebagai contoh rumus fungsi phi Euler atau fungsi jumlah pembagi berbeda untuk bilangan prima dengan 1 didefinisikan sebagai bilangan prima.^[43] Pada awal abad ke-20, para matematikawan mulai menyetujui bahwa 1 tidak ditulis sebagai bilangan prima, melainkan dikategorikan istimewa sebagai "satuan".^[40]

Suatu bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima disebut faktorisasi bilangan prima. Misalnya:

${\displaystyle {\begin{aligned}34886&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149\end{aligned}}}$

Bentuk yang ditulis dalam hasil kali disebut faktor bilangan prima. Faktor bilangan prima yang sama seringkali muncul lebih dari satu. Contoh di atas memiliki dua salinan faktor bilangan prima ${\displaystyle 3}$. Ketika sebuah bilangan prima sering muncul berkali-kali, eksponen dapat dipakai untuk mengumpulkan salinan faktor bilangan prima. Misalnya, dalam menulis hasil kali di atas, yakni pada barisan kedua, ${\displaystyle 3^{2}}$ dilambangkan sebagai tiga pangkat dua.

Pentingnya bilangan prima dalam teori bilangan dan matematika umumnya berasal dari teorema dasar aritmetika.^[44] Teorema ini mengatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali dari satu bilangan prima atau lebih. Lebih lanjut, hasil kalinya adalah tunggal dalam artian bahwa dua faktorisasi bilangan prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama meski urutannya berbeda.^[45] Walaupun ada banyak cara mencari faktorisasi melalui algoritma faktorisasi bilangan bulat, hasil yang diperoleh adalah sama. Jadi, bilangan prima dapat dianggap sebagai "satuan dasar" bilangan asli.^[46]

Bukti-bukti mengenai ketunggalan faktorisasi bilangan prima dijelaskan melalui lema Euklides: Jika ${\displaystyle p}$ bilangan prima dan ${\displaystyle p}$ membagi hasil kali ${\displaystyle ab}$ (dengan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ bilangan bulat), maka ${\displaystyle p}$ membagi ${\displaystyle a}$ atau ${\displaystyle p}$ membagi ${\displaystyle b}$ (atau membagi keduanya).^[47] Sebaliknya, jika ${\displaystyle p}$ memiliki sifat ketika dibagi hasil kalinya (${\displaystyle p}$ selalu membagi setidaknya salah satu dari faktor hasil kali tersebut), maka ${\displaystyle p}$ haruslah bilangan prima.^[48]

Ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Dengan kata lain, barisan bilangan prima

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

tidak pernah berakhir. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno Euklides. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti analitik oleh Euler, bukti Goldbach berdasarkan bilangan Fermat,^[49] bukti Furstenberg melalui topologi umum,^[50] dan bukti elegan Kummer.^[51]

Bukti Euler^[52] menunjukkan bahwa setiap daftar bilangan prima terhingga belum lengkap. Kunci utamanya adalah mengalikan bilangan prima pada daftar tertentu dan ditambah ${\displaystyle 1}$. Jikalau terdiri dari bilangan prima ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$, maka

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}}$.

Menurut teorema dasar aritmetika, ${\displaystyle N}$ memiliki faktorisasi bilangan prima yang faktornya berjumlah satu atau lebih.

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

${\displaystyle N}$ dibagi habis secara merata oleh setiap faktor-faktor tersebut, tetapi ${\displaystyle N}$ mempunyai sisa yaitu satu ketika dibagi oleh suatu bilangan prima pada daftar tertentu sehingga tidak ada faktor bilangan prima ${\displaystyle N}$ yang terdapat pada daftar tersebut. Karena tidak ada daftar bilangan prima terhingga, maka pasti ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.

Bilangan yang dibentuk dengan menambahkan 1 pada hasil kali dari bilangan prima terkecil disebut bilangan Euklides.^[53] Lima bilangan pertama adalah bilangan prima, tetapi yang keenam,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509}$,

adalah bilangan komposit.

Tidak ada rumus cepat yang diketahui untuk bilangan prima. Contoh, tidak ada polinomial takkonstan, bahkan dalam beberapa variabel, yang hanya memakai nilai bilangan prima.^[54] Namun, ada banyak bentuk rumus yang mengode semua bilangan prima, atau hanya bilangan prima. Ada rumus yang dapat didasari pada teorema Wilson, dan rumus tersebut menghasilkan 2 berkali-kali dan sisa bilangan prima dihasilkan sekali.^[55] Adapula himpunan persamaan Diophantus dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter adalah bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan adalah solusi bilangan asli. Ini^[?] dapat dipakai untuk memperoleh rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai positif adalah bilangan prima.^[56]

Contoh rumus yang menghasilkan bilangan prima lainnya berasal dari teorema Mills dan teorema Wright. Rumus ini mengatakan bahwa terdapat suatu konstanta real ${\displaystyle A>1}$ dan ${\displaystyle \mu }$ sehingga

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }$ dan ${\displaystyle \left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

adalah bilangan prima untuk suatu bilangan asli ${\displaystyle n}$ dalam rumus yang pertama, dan suatu bilangan eksponen dalam rumus yang kedua.^[57] ${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ merepresentasikan fungsi bilangan bulat terbesar. Akan tetapi, rumus-rumus tersebut tidak dapat digunakan untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dihasilkan terlebih dahulu agar memperoleh nilai ${\displaystyle A}$ atau ${\displaystyle \mu }$.

Banyak konjektur yang melibatkan bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki perumusan dasar, banyak konjektur-konjektur tersebut memiliki bukti yang bertahan selama beberapa dekade: empat masalah Landau yang berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.^[58] Salah satu masalah Landau adalah konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap ${\displaystyle n}$ lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.^[59] Hingga pada 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua bilangan hingga ${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}}$.^[60] Pernyataan yang lebih lemah dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: teorema Vinogradov yang mengatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang cukup besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima,^[61] teorema Chen yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan prima dan semiprima (hasil kali dari dua bilangan prima),^[62] serta suatu bilangan bulat genap yang lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.^[63] Cabang teori bilangan yang mempelajari masalah tersebut disebut teori bilangan aditif.^[64]

Jenis masalah lainnya yang melibatkan celah bilangan prima, yaitu selisih antara bilangan prima berurutan. Keberadaan celah bilangan prima besar secara sembarang dapat dilihat dengan memperhatikan bahwa barisan ${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$ terdiri dari ${\displaystyle n-1}$ bilangan komposit, untuk suatu bilangan asli ${\displaystyle n.}$^[65] Akan tetapi, celah bilangan prima yang besar muncul lebih awal daripada argumen yang diperlihatkan sebelumnya.^[66] Sebagai contoh, celah bilangan prima pertama bernilai 8 ada di antara bilangan prima 89 dan 97,^[67] lebih kecil dari ${\displaystyle 8!=40320}$. Ini diduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima kembar, pasangan bilangan prima dengan selisih antar bilangan prima adalah 2 merupakan konjektur bilangan prima kembar. Konjektur Polignac mengatakan lebih umumnya lagi bahwa untuk setiap bilangan positif ${\displaystyle k,}$ terdapat tak terhingga banyaknya pasangan bilangan prima berurutan dengan selisihnya adalah ${\displaystyle 2k}$.^[68] Konjektur Andrica,^[68] konjektur Brocard,^[69] konjektur Legendre,^[70] dan konjektur Oppermann^[69] mengatakan bahwa celah terbesar antara bilangan prima dari ${\displaystyle 1}$ sampai dengan ${\displaystyle n}$ paling banyak sekitar${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, a result that is known to follow from the Riemann hypothesis, while the much stronger Cramér conjecture sets the largest gap size at ${\displaystyle O((\log n)^{2}).}$^[68] Celah bilangan prima dapat dirampat menjadi prime ${\displaystyle k}$-tuples, yang membentuk pola dengan selisih antara bilangan prima yang lebih dari dua. Ketakterhinggaan dan kepekatannya merupakan bagian utama dari konjektur Hardy–Littlewood pertama, which can be motivated by the heuristic that the prime numbers behave similarly to a random sequence of numbers with density given by the prime number theorem.^[71]

Teori bilangan analitik adalah studi cabang teori bilangan yang berfokus mengenai fungsi kontinu, limit, deret takhingga, dan kaitan matematika tentang takhingga dan infinitesimal.

Cabang ini dimulai dengan Leonhard Euler yang menemukan solusi dari masalah yang sangat penting, yaitu masalah Basel. Masalah ini menanyakan berapakah nilai dari deret takhingga ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$ dan nilai deret saat ini dapat dianggap sebagai nilai ${\displaystyle \zeta (2)}$ (dengan ${\displaystyle \zeta }$ adalah fungsi zeta Riemann). Fungsi ini sangat terkait erat dengan bilangan prima dan fungsi ini merupakan salah satu masalah yang belum terpecahkan yang sangat penting dalam matematika, hipotesis Riemann. Euler memperlihatkan bahwa ${\textstyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.^[72] Kebalikan bilangan ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}}$, merupakan probabilitas batas yang menyatakan bahwa dua bilangan acak dipilih secara seragam dari kisaran relatif prima yang besar (relatif prima berarti tidak memiliki kesamaan faktor).^[73]

Sebaran bilangan prima masih dicari, seperti pertanyaan yang menanyakan berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil dari sebuah batas yang lebih besar dijelaskan melalui teorema bilangan prima, namun rumus efisien bilangan prima ke-${\displaystyle n}$ belum diketahui. Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, dalam bentuk dasar, mengatakan bahwa polinomial linear

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

dengan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ saling relatif prima mengambil tak berhingga banyaknya nilai bilangan prima. Bentuk teorema yang lebih kuat mengatakan bahwa jumlah timbal balik dari nilai bilangan prima tersebut adalah divergen, dan bahwa polinomial linear yang berbeda dengan ${\displaystyle b}$ yang sama kira-kira sama dengan perbandingan bilangan prima yang sama. Walaupun konjektur tersebut dirumuskan mengenai perbandingan bilangan prima dalam polinomial berderajat tinggi, konjektur tersebut masih belum terpecahkan, dan belum diketahui adakah polinomial kuadratik bahwa (untuk nilai-nilai bilangan bulat) merupakan sering tak berhingga bilangan prima.

Bukti Euler yang mengatakan ada tak berhingga banyaknya bilangan prima meninjau jumlah dari timbal-balik bilangan prima,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}}$.

Euler memperlihatkan bahwa untuk suatu ${\displaystyle x}$ bilangan real sembarang, terdapat bilangan prima ${\displaystyle p}$ yang jumlahnya lebih besar dari ${\displaystyle x}$.^[74] Bukti tersebut memperlihatkan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Karena jika terdapat berhingga banyaknya bilangan prima, maka jumlahnya akan mencapai nilai maksimum di bilangan prima terbesar daripada naik melalui setiap ${\displaystyle x}$. Laju pertumbuhan dari jumlah ini digambarkan melalui teorema kedua Mertens.^[75] Bandingkan jumlah

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$,

yang tidak naik menuju takhingga ketika ${\displaystyle n}$ menuju takhingga (lihat masalah Basel). Ini berarti, bilangan prima sering kali muncul daripada bilangan asli yang dikuadratkan meskipun kedua himpunan adalah takhingga.^[76] Teorema Brun menyatakan bahwa jumlah timbal-balik bilangan prima kembar,

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$,

adalah terhingga. Karena teorema Brun, bukti di atas tidak dapat menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan bilangan prima kembar, yang ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.^[76]

Fungsi penghitungan bilangan prima ${\displaystyle \pi (n)}$ didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari ${\displaystyle n}$.^[77] Contohnya, ${\displaystyle \pi (11)=5}$, karena ada lima bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan 11 (yakni 2, 3, 5, 7, 11). Metode seperti algoritma Meissel–Lehmer dapat menghitung nilai eksak ${\displaystyle \pi (n)}$ lebih cepat daripada menulis setiap bilangan prima sampai dengan ${\displaystyle n}$. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa ${\displaystyle \pi (n)}$ asimtotik dengan ${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$. Teorema ini ditulis sebagai

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}}}$.

Ini berarti bahwa rasio ${\displaystyle \pi (n)}$ terhadap pecahan di ruas kanan mendekati 1 ketika ${\displaystyle n}$ menuju takhingga.^[78] Teorema ini menyiratkan bahwa kemungkinan bilangan yang lebih kecil dari ${\displaystyle n}$ yang dipilih secara acak adalah bilangan prima, kira-kira berbanding terbalik dengan jumlah digit ${\displaystyle n}$.^[79] Teorema ini juga menyiratkan bahwa bilangan prima ke-${\displaystyle n}$ sebanding dengan ${\displaystyle n\log n}$,^[80] dan demikian bahwa ukuran rata-rata dari celah bilangan prima sebanding dengan ${\displaystyle \log n}$.^[66] Pendekatan lebih akuratnya adalah ${\displaystyle \pi (n)}$ sebanding dengan integral logaritmik Euler^[78]

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{\log t}}}$.

Barisan aritmetika ialah barisan bilangan yang hingga maupun takhingga sehingga bilangan berurutan dalam barisan tersebut memiliki beda atau selisih yang sama.^[81] Selisih barisan aritmetika disebut modulus barisan.^[82] Misalnya,

${\displaystyle 3,12,21,30,39,...}$,

adalah barisan aritmetika takhingga dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama ketika dibagi oleh modulus. Contoh di atas, sisanya adalah 3. Karena modulus adalah 9 dan sisanya merupakan kelipatan 3, dan begitu pula untuk setiap anggota pada barisan tersebut. Karena itu, barisan tersebut memiliki satu bilangan prima, yakni 3. Pada umumnya, barisan takhingga

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

dapat memiliki bilangan prima yang lebih dari satu ketika sisa ${\displaystyle a}$ dan modulus ${\displaystyle q}$ relatif prima. Jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle q}$ relatif prima, teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika mengatakan bahwa barisan memuat tak terhingga banyaknya bilangan prima.^[83]

Bilangan prima dalam barisan aritmetika merupakan modulo 9. Setiap baris dari pita horizontal yang tipis memperlihatkan salah satu dari sembilan barisan yang modulo 9 yang mungkin, dengan bilangan prima ditandai berwarna merah. Barisan bilangan yaitu 0, 3, atau 6 mod 9 memuat setidaknya satu bilangan prima (yaitu 3); sisa barisan bilangan yaitu 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 mempunyai tak berhingga banyaknya bilangan prima, dengan bilangan prima yang serupa pada masing-masing barisan

Teorema Green–Tao memperlihatkan bahwa ada barisan aritmetika hingga panjang sembarang yang hanya terdiri dari bilangan prima.^[35][84]

Euler mengemukakan bahwa fungsi kuadrat

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

menghasilkan bilangan prima untuk ${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$, namun bilangan ${\displaystyle n}$ berikutnya menghasilkan bilangan komposit.^[85][86] Pencarian untuk penjelasan mengenai fenomena ini mengacu pada bilangan Heegner dan masalah bilangan kelas dalam teori bilangan aljabar.^[87] Konjektur Hardy-Littlewood F memperkirakan bahwa kepadatan bilangan prima berada di antara nilai-nilai polinomial kuadratik dengan koefisien bilangan bulat dalam bentuk integral logaritmik dan koefisien polinomial. Tidak ada bukti bahwa polinomial kuadratik mengambil tak berhingga banyaknya nilai bilangan prima.^[88]

Spiral Ulam menyusun bilangan asli dalam kisi berdimensi dua, yang membentuk spiral dalam persegi sepusat yang mengitari the origin with the prime numbers highlighted. Visually, the primes appear to cluster on certain diagonals and not others, suggesting that some quadratic polynomials take prime values more often than others.^[88]

Salah satu masalah belum terpecahkan yang paling terkenal dan dari Masalah Hadiah Milenium yang berasal dari tahun 1859 adalah hipotesis Riemann. Masalah ini menanyakan terletak dimanakah akar dari fungsi zeta Riemann ${\displaystyle \zeta (s)}$. Fungsi ini merupakan analitik kontinu pada bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks ${\displaystyle s}$ dengan bagian real lebih besar dari 1 sama dengan jumlah takhingga seluruh bilangan bulat dan hasil kali takhingga seluruh bilangan prima,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prima}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$.

Persamaan antara penjumlahan dan perkalian, yang ditemukan oleh Euler, disebut sebagai darab Euler.^[89] Darab Euler dapat diturunkan melalui teorema dasar aritmetika. Darab ini memperlihatkan kaitan erat antara fungsi zeta dan bilangan prima.^[90] Ini merujuk ke bukti lain bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima: jika ada banyak berhingga bilangan prima, maka persamaan antara penjumlahan dan perkalian tersebut juga benar untuk ${\displaystyle s=1}$. Tetapi penjumlahan akan divergen (yakni, deret harmonik ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$), sedangkan darabnya terhingga, kontradiksi.^[91]

Hipotesis Riemann mengatakan bahwa akar dari fungsi zeta adalah bilangan genap negatif, atau bilangan kompleks dengan bagian real yang sama dengan ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$.^[92] Bukti asli teorema bilangan prima berasal dari bentuk lemah dari hipotesis ini, yang mengatakan bahwa tidak ada akar fungsi dengan bagian real sama dengan 1,^[93][94] walaupun ada beberapa bukti dasar lain telah ditemukan.^[95] Fungsi penghitung bilangan prima dapat dinyatakan melalui rumus eksplisit Riemann sebagai penjumlahan yang setiap suku berasal dari salah satu dari akar fungsi zeta, dengan suku pertama merupakan integral logaritmik, dan suku-suku sisanya menyebabkan jumlah suku pertama naik berubah-ubah dari atas dan bawah.^[96][?] Dalam artian, akar fungsi tersebut mengendalikan bagaimana bilangan prima tersebar secara teratur. Jika hipotesis Riemann benar, maka fluktuasinya akan menjadi kecil, dan sebaran asimtotik bilangan prima yang ditentukan oleh teorema bilangan prima juga akan terus-menerus much shorter intervals (of length about the square root of ${\displaystyle x}$ for intervals near a number ${\displaystyle x}$).^[94]

Arimetika modular menyesuaikan aritmetika biasa hanya dengan menggunakan bilangan ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$, untuk suatu bilangan bulat ${\displaystyle n}$ disebut modulus. Suatu bilangan asli lainnya dapat dipetakan dengan sistem ini dengan menggantikannya^[?] dengan sisanya^[?] setelah pembagian oleh ${\displaystyle n}$.^[97] Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian biasa dihitung dengan menggantikan sisa yang sama pada hasil penjumlahan, pengurangan, dan perkalian biasa dari bilangan bulat.^[98] Kesamaan bilangan bulat berpadanan dengan aritmetika modular: ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ adalah kongruen (ditulis ${\displaystyle x\equiv y}$ mod ${\displaystyle n}$) ketika ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ mempunyai sisa yang sama setelah dibagi oleh ${\displaystyle n}$.^[99] Namun dalam sistem bilangan, pembagian oleh semua bilangan taknol juga dapat dilakukan jika dan hanya jika modulus ${\displaystyle n}$ adalah bilangan prima. Sebagai contoh, diberikan bilangan prima ${\displaystyle 7}$ sebagai modulus dapat dibagi oleh ${\displaystyle 3}$ sehingga ${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$, karena menghilangkan penyebut dengan mengalikan kedua sisi oleh ${\displaystyle 3}$ memberikan rumus valid, yaitu ${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$. Akan tetapi modulus ${\displaystyle 6}$ tidak dapat dibagi oleh ${\displaystyle 3}$, karena tidak ada penyelesaian yang valid untuk ${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$. Menghilangkan penyebut dengan mengalikan kedua sisi oleh ${\displaystyle 3}$ menyebabkan ruas kiri menjadi ${\displaystyle 2}$, sementara pada ruas kanan menjadi ${\displaystyle 0}$ atau ${\displaystyle 3}$. Dalam terminologi aljabar abstrak, kemampuan dalam melakukan pembagian berarti bahwa artimetika modular modulo suatu bilangan prima membentuk sebuah medan (lebih khususnya lagi, medan terhingga), sedangkan modulus lainnya membentuk gelanggang, tetapi bukan medan.^[100]

Ada beberapa teorema yang melibatkan bilangan prima dapat dirumuskan melalui aritmetika modular. Sebagai contoh, teorema kecil Fermat menyatakan bahwa jika ${\displaystyle a\not \equiv 0}$ (mod ${\displaystyle p}$), maka ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$ (mod ${\displaystyle p}$).^[101] Dengan menjumlahkan seluruh kemungkinan nilai ${\displaystyle a}$ memberikan persamaan

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}}}$,

benar jika ${\displaystyle p}$ bilangan prima. Konjektur Giuga mengatakan bahwa persamaan ini juga memiliki syarat untuk ${\displaystyle p}$ bilangan prima.^[102] Teorema Wilson mengatakan bahwa bilangan bulat ${\displaystyle p>1}$ adalah bilangan prima jika dan hanya jika faktorial ${\displaystyle (p-1)!}$ kongruen dengan ${\displaystyle -1}$ mod ${\displaystyle p}$. Bilangan komposit ${\displaystyle n=r\cdot s}$ tidak dapat berlaku karena salah satu faktornya membagi n and ${\displaystyle (n-1)!}$, sehingga mustahil bahwa ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$.^[103]

Gelanggang komutatif merupakan struktur aljabar dengan penambahan, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Bilangan bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan bilangan prima dalam bilangan bulat telah dirampat menjadi gelanggang melalui dua cara seperti anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi. Sebuah anggota ${\displaystyle p}$ dari sebuah gelanggang ${\displaystyle R}$ dikatakan bilangan prima jika ${\displaystyle p}$ adalah bilangan taknol, tidak mempunyai invers perkalian (yang berarti, gelanggang bukanlah sebuah unit), dan memenuhi syarat berikut: jika ${\displaystyle p}$ membagi hasil kali ${\displaystyle xy}$ dari dua anggota ${\displaystyle R}$, maka ${\displaystyle p}$ juga membagi setidaknya ${\displaystyle x}$ ataupun ${\displaystyle y}$. Sebuah anggota adalah taktereduksi jika sebuah anggota bukan merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam gelanggang bilangan bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

Dalam sebuah gelanggang sembarang, semua anggota bilangan prima adalah taktereduksi. Kebalikannya tidak berlaku pada umumnya, namun berlaku untuk domain faktorisasi tunggal.^[104]

Teorema dasar aritmetika tetap berlaku (menurut definisi) dalam domain faktorisasi tunggal. Contoh mengenai domain faktorisasi tunggal adalah bilangan bulat Gauss ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, gelanggang dari bilangan kompleks berbentuk ${\displaystyle a+bi}$ dengan ${\displaystyle i}$ menyatakan satuan imajiner, ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ merupakan bilangan bulat sembarang. Anggota bilangan primanya dikenal sebagai bilangan prima Gauss. Tidak semua bilangan yang merupakan bilangan prima di antara bilangan bulat tetap merupakan bilangan prima dalam bilangan bulat Gauss. Sebagai contoh, bilangan 2 dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua bilangan prima Gauss, yaitu ${\displaystyle 1+i}$ dan ${\displaystyle 1-i}$. Bilangan prima rasional (anggota bilangan prima dalam bilangan bulat) kongruen dengan 3 mod 4 adalah bilangan prima Gauss, namun bilangan prima rasional kongruen dengan 1 mod 4 bukan bilangan prima Gauss.^[105] Contoh tersebut merupakan akibat dari teorema Fermat tentang jumlah dari dua bilangan kuadrat, yang mengatakan bahwa sebuah bilangan prima ganjil ${\displaystyle p}$ dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat, ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$, dan demikian dapat difaktorkan sebagai ${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$, tepat ketika ${\displaystyle p}$ kongruen dengan 1 mod 4.^[106]

Tidak setiap gelanggang merupakan domain faktorisasi tunggal. Sebagai contoh, dalam gelanggang bilangan ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ (untuk bilangan bulat ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$), ${\displaystyle 21}$ mempunyai dua faktorisasi, yaitu ${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$. Keempat faktor tersebut tidak dapat difaktorkan lagi sehingga ${\displaystyle 21}$ tidak mempunyai faktorisasi tunggal. Agar memperluas faktorisasi tunggal menjadi kelas gelanggang yang lebih besar, gagasan suatu bilangan dapat digantikan dengan ideal, subhimpunan anggota dari gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan anggotanya, dan semua hasil kali anggotanya dengan anggota gelanggang. Ideal bilangan prima, yang merampat anggota bilangan prima dalam artian bahwa ideal utama dihasilkan oleh anggota bilangan prima yang merupakan ideal bilangan prima, merupakan alat yang penting dalam studi aljabar komutatif, teori bilangan aljabar, dan geometri aljabar. Ideal bilangan prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), .... Teorema dasar aritmetika merampat ke teorema Lasker–Noether, yang menyatakan setiap ideal dalam gelanggang komutatif Noether sebagai sebuah irisan dari ideal primer, which are the appropriate generalizations of prime powers.^[107]

The spectrum of a ring is a geometric space whose points are the prime ideals of the ring.^[108] Arithmetic geometry also benefits from this notion, and many concepts exist in both geometry and number theory. For example, factorization or ramification of prime ideals when lifted to an extension field, a basic problem of algebraic number theory, bears some resemblance with ramification in geometry. These concepts can even assist with in number-theoretic questions solely concerned with integers. For example, prime ideals in the ring of integers of quadratic number fields can be used in proving quadratic reciprocity, a statement that concerns the existence of square roots modulo integer prime numbers.^[109] Early attempts to prove Fermat's Last Theorem led to Kummer's introduction of regular primes, integer prime numbers connected with the failure of unique factorization in the cyclotomic integers.^[110] The question of how many integer prime numbers factor into a product of multiple prime ideals in an algebraic number field is addressed by Chebotarev's density theorem, which (when applied to the cyclotomic integers) has Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions as a special case.^[111]

Dalam teori grup hingga, teorema Sylow menyiratkan bahwa jika perpangkatan bilangan prima ${\displaystyle p^{n}}$ membagi tingkat grup, maka grup memiliki subgrup tingkat ${\displaystyle p^{n}}$. Menurut teorema Lagrange, suatu grup tingkat bilangan prima adalah grup siklik dan menurut teorema Burnside, suatu grup yang tingkatnya dibagi oleh dua bilangan prima merupakan grup terselesaikan.^[112]

Metode paling dasar yang memeriksa primalitas bilangan bulat ${\displaystyle n}$ disebut pembagian percobaan. Metode ini membagi ${\displaystyle n}$ oleh setiap bilangan bulat di antara 2 hingga akar kuadrat dari ${\displaystyle n}$. Suatu bilangan bulat yang membagi ${\displaystyle n}$ sama rata establishes ${\displaystyle n}$ sebagai bilangan komposit; jika tidak, ${\displaystyle n}$ adalah bilangan prima.

Tabel matematika yang menulis semua bilangan prima atau faktorisasinya hingga batas tertentu biasanya dicetak sebelum adanya komputer.^[113] Metode terlama yang menghasilkan daftar bilangan prima disebut saringan Eratosthenes^[114] seperti yang dapat diperlihatkan melalui animasi disamping yang lebih baik.^[115] Another more asymptotically efficient sieving method for the same problem is the sieve of Atkin.^[116] Dalam matematika lanjutan, teori saringan applies similar methods to other problems.^[117]

Ada beberapa uji modern tercepat mengenai apakah suatu bilangan ${\displaystyle n}$ sembarang adalah bilangan prima seperti algoritma probabilistik atau algoritma Monte Carlo, meaning that they have a small random chance of producing an incorrect answer.^[118]

Bilangan prima merupakan bagian terpenting dalam teori bilangan, tetapi bilangan prima juga memiliki penerapan terhadap bidang-bidang lainnya, di antaranya aljabar abstrak dan geometri dasar. Sebagai contoh, penerapannya dapat meletakkan titik bilangan prima dalam kisi berdimensi dua sehingga tidak ada tiga titik pada sebuah garis, atau sehingga setiap segitiga yang dibentuk oleh ketiga titik memiliki luas yang besar.^[119] Contoh lainnya adalah kriteria Eisenstein, kriteria yang menguji apakah polinomial adalah taktereduksi berdasarkan keterbagian koefisien polinomial oleh bilangan prima dan bilangan prima kuadrat.^[120]

Konsep bilangan prima sangatlah penting jika bilangan prima digeneralisasikan dalam berbagai cara pada berbagai cabang matematika. Umumnya, "prima" berarti minimalitas atau ketakteruraikan, dalam arti yang sepadan. Sebagai contoh, medan prima merupakan submedan paling terkecil dari medan tertentu yang memuat 0 dan 1. Medan ini merupakan medan bilangan rasional atau medan hingga dengan anggota bilangan prima, sesuai dengan namanya.^[121] Pengertian tambahan yang kedua seringkali dimaksudkan memakai kata "prima", yaitu setiap objek pada dasarnya dapat diuraikan secara khusus menjadi komponen primanya. Sebagai contoh, dalam teori buhul, buhul prima adalah sebuah buhul yang tidak dapat diuraikan, dalam artian bahwa sebuah buhul tidak dapat ditulis sebagai jumlah terhubung dari dua buhul nontrivial. Suatu buhul dapat dinykatakan secara khusus sebagai jumlah terhubung buhul prima.^[122] Contoh lain mengenai jenis ini adalah dekomposisi prima dari manifold-3.^[123]

Di luar matematika dan perhitungan, bilangan prima memiliki kaitan yang berpotensi dengan mekanika kuantum, dan juga dipakai sebagai kiasan dalam seni dan literatur. Bilangan prima juga dipakai dalam biologi evolusioner yang menjelaskan kehidupan siklus cicada.

Bilangan prima Fermat adalah bilangan prima dengan bentuk

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1}$,

dengan ${\displaystyle k}$ bilangan bulat taknegatif.^[124] Bentuk di atas dinamai dari Pierre de Fermat, yang menduga bahwa semua bilangan adalah prima. Lima bilangan pertama tersebut – 3, 5, 17, 257, dan 65,537 – adalah bilangan prima,^[125] tetapi ${\displaystyle F_{5}}$ dan bilangan Fermat seterusnya komposit. Bilangan tersebut telah diverifikasi pada tahun 2017.^[126] Sebuah ${\displaystyle n}$-gon beraturan adalah terkonstruksi menggunakan penggaris dan jangka sorong jika dan hanya jika faktor bilangan prima ganjil dari (jika suatu) ${\displaystyle n}$ adalah bilangan prima Fermat yang berbeda.^[125] Demikian juga, sebuah ${\displaystyle n}$-gon beraturan dapat digambar menggunakan penggaris, jangka sorong, dan garis bagi tiga sudut jika dan hanya jika faktor bilangan prima dari ${\displaystyle n}$ merupakan suatu jumlah salinan dari 2 atau 3 together with a (possibly empty) set of distinct Pierpont primes, primes of the form ${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$.^[127]

Sebuah poligon-${\displaystyle n}$ beraturan dapat dibagi menjadi suatu poligon cembung menjadi ${\displaystyle n}$ poligon cembung yang lebih kecil yang memiliki luas dan keliling yang sama, ketika ${\displaystyle n}$ adalah pangkat bilangan prima, namun bilangan ${\displaystyle n}$ nilai lain belum diketahui.^[128]

Dimulai dari karya Hugh Montgomery dan Freeman Dyson pada tahun 1970an, para matematikawan dan fisikawan menduga bahwa akar fungsi zeta Riemann berhubungan dengan tingkat energi sistem kuantum.^[129][130] Bilangan prima juga penting dalam sains informatika kuantum berkat struktur matematika seperti basis takbias bersama dan SIC-POVM.^[131][132]

The evolutionary strategy used by cicadas of the genus Magicicada makes use of prime numbers.^[133] These insects spend most of their lives as grubs underground. They only pupate and then emerge from their burrows after 7, 13 or 17 years, at which point they fly about, breed, and then die after a few weeks at most. Biologists theorize that these prime-numbered breeding cycle lengths have evolved in order to prevent predators from synchronizing with these cycles.^[134][135] In contrast, the multi-year periods between flowering in bamboo plants are hypothesized to be smooth numbers, having only small prime numbers in their factorizations.^[136]

Bilangan prima mempengaruhi banyak para artis dan para penulis. Olivier Messiaen, seorang komponis asal Perancis, menggunakan bilangan prima untuk menciptakan musik ametrikal melalui "fenomena alami". Dalam karyanya seperti La Nativité du Seigneur (1935) dan Quatre études de rythme (1949–50), he simultaneously employs motifs with lengths given by different prime numbers to create unpredictable rhythms: the primes 41, 43, 47 and 53 appear in the third étude, "Neumes rythmiques". According to Messiaen this way of composing was "inspired by the movements of nature, movements of free and unequal durations".^[137]

In his science fiction novel Contact, scientist Carl Sagan suggested that prime factorization could be used as a means of establishing two-dimensional image planes in communications with aliens, an idea that he had first developed informally with American astronomer Frank Drake in 1975.^[138] In the novel The Curious Incident of the Dog in the Night-Time by Mark Haddon, the narrator arranges the sections of the story by consecutive prime numbers as a way to convey the mental state of its main character, a mathematically gifted teen with Asperger syndrome.^[139] Prime numbers are used as a metaphor for loneliness and isolation in the Paolo Giordano novel The Solitude of Prime Numbers, in which they are portrayed as "outsiders" among integers.^[140]