Վեկտոր

Վեկտոր (լատին․՝ vector), պարզագույն դեպքում մաթեմատիկական օբյեկտ, որը բնութագրվում է մեծությամբ և ուղղությամբ։ Օրինակ, երկրաչափությունում և բնական գիտություններում վեկտորը էվկլիդյան տարածությունում կամ հարթության վրա ուղղորդված հատված է^[1]։

Օրինակներ. շառավիղ-վեկտոր, արագություն, ուժի մոմենտ։ Եթե տարածությունում տրված է կոորդինատային համակարգ, ապա վեկտորը միանշանակորեն տրվում է իր կոորդինատնեով։ Այդ պատճառով, մաթեմատիկայում, ինֆորմատիկայում և մյուս գիտություններում թվերի կարգավորված խումբը նույնպես հաճախ անվանում են վեկտոր։ Ավելի ընդհանուր իմաստով վեկտորը մաթեմատիկայում դիտարկվում է որպես որևէ վեկտորական (գծային) տարածության տարր

Համարվում է գծային հանրահաշվի հիմնական հասկացություններից մեկը։ Առավել ընդհանուր սահմանման դեպքում որպես վեկտորներ են դիտարկվում գծային հանրահաշվում ուսումնասիրվող բոլոր օբյեկտները, այդ թվում՝ մատրիցները։

${\displaystyle n}$ տարրերի (բաղադրիչների) խմբով ներկայացված ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ վեկտորը նշանակվում է հետևյալ եղանակներով. ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$:

${\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right),\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}}$:

Որպեսզի ընդգծվի, որ տրված է վեկտոր (այլ ոչ սկալյար), օգտագործում են գծիկ վերևից, սլաք վերևից, թավ կամ գոթական տառատեսակ.

${\displaystyle {\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}:}$

Վեկտորների գումարումը գրեթե միշտ նշանակվում է «պլյուս» նշանով.

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$:

Թվով բազմապատկումը գրվում է պարզապես, առանց հատուկ նշանի, օրինակ.

${\displaystyle k{\vec {b}}}$,

ընդ որում այդ դեպքում թիվը գրվում է ձախից.

Ինտուիտիվ կերպով, վեկտորն ըմբռնվում է ինչպես մեծություն և ուղղություն ունեցող օբյեկտ։ Վեկտորական հաշվի սաղմերն ի հայտ են եկել Գաուսի կոմպլեքս թվերի երկրաչափական մոդելի հետ, 1831 թվականին։ Վեկտորների հետ գործողությունները հրատարակել է Ուիլյամ Համիլտոնը, ինչպես իր քվատերնիոնյան հաշվի մաս (վեկտոր են կազմել քվատերնիոնի կեղծ բաղադրիչները)։ Համիլտոնն է առաջարկել վեկտոր եզրույթը (լատին․՝ vector, կրող) և նկարագրել է վեկտորական հաշվի որոշ գործողություններ։ Այդ ձևականությունն օգտագործեց Ջեյմս Մաքսվելն իր աշխատություններում էլեկտրամագնիսականության վերաբերյալ, գիտնականների ուշադրությունը հրավիրելով նոր հաշվի վրա։ Շուտով լույս տեսան Գիբսի «Վեկտորական հաշվի տարրեր»ը (1880-ական թվականներ), ապա՝ Հեվիսայդը (1903) վեկտորական հաշվին տվեց ժամանակակից տեսքը։

Երկրաչափությունում երկրաչափության անվան տակ հասկանում են ուղղորդված հատվածներ։ Այս մեկնաբանությունը հաճախ են օգտագործում համակարգչային գրաֆիկայում:Վեկտորների օգնությամբ կարելի է գտնել տարբեր պատկերների մակերեսներ, օրինակ, եռանկյունների, զուգահեռագծերի, ինչպես նաև մարմինների ծավալներ. քառանիստի և զուգահեռանիստի։ Երբեմն վեկտորի հետ նույնացվում է ուղղությունը։

Վեկտորը երկրաչափությունում համադրվում է տեղափոխության հետ (զուգահեռ տեղափոխության), որը պարզաբանում է նրա նավանման ծագումը. (լատին․՝ vector, կրող)։ Իրոք, ցանկացած ուղղորդված հատված միանշանակորեն որոշում է հարթության կամ տարածության ինչ-որ զուգահեռ տեղափոխություն, և հակառակը, զուգահեռ տեղափոխությունը միանշանակորեն որոշում է միակ ուղղորդված վեկտորը միանշանակորեն՝ եթե միևնույն ուղղվածության և երկարության բոլոր ուղղորդված հատվածները համարենք հավասար, այսինքն, դրանք դիտարկենք որպես ազատ վեկտորներ։

Վեկտորի մեկնաբանությունը որպես տեղափոխություն թույլատրում է ներմուծել վեկտորների գումարման գործողությունը որպես երկու (կամ մի քանի) տեղափոխությունների կոմպոզիցիա (հաջորդական կիրառման), սա վերաբերում է նաև վեկտորի բազմապատկմանը թվով։

Գծային հանրահաշվում վեկտոր է կոչվում գծային տարածության տարրը, որը համապատասխանում է ներքևում բերված ընդհանուր սահմանմանը։ Վեկտորները կարող են տարբեր բնույթ ունենալ. ուղղորդված հատվածներ, մատրիցներ, թվեր, ֆունկցիաներ և այլն, սակայն նույն չափ ունեցող բոլոր գծային տարածությունները իզոմորֆ են։ Վեկտորի այս հասկացությունից առավել հաճախ օգտվում են գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր լուծելիս, ինչպես նաև գծային օպերատորների հետ աշխատելիս։

Հաճախ այս սահմանումն ընդլայնում են, սահմանելով նորման և սկալյար արտադրյալը, որից հետո օգտագործում են նորմավորված և էվկլիդյան տարածությունների հետ, սկալյար արտադրյալի հետ են կապում վեկտորների կազմած անկյան հասկացությունը, իսկ նորմայի հետ՝ վեկտորի երկարության հասկացությունը։

Շատ մաթեմատիկական օբյեկտներ (օրինակ, մատրիցները, տենզորները և այլն), բավարարում են վեկտորական տարածության աքսիոմներին, այսինքն՝ հանրահաշվի տեսակետից հանդիսանում են վեկտորներ։

Ֆունկցիոնալ անալիզում ուսումնասիրվում են ֆունկցիոնալ տարածությունները՝ անվերջ գծային տարածությունները:Դրանց տարրեր կարող են հանդիսանալ ֆունկցիաները։ Այսպիսի ներկայացման հիման վրա կառուցված է Ֆուրյեի շարքերի տեսությունը։ Գծային հանրահաշվին համանմանորեն ներմուծում են նորման, սկալյար արտադրյալը, կամ մետրիկան ֆունկցիաների տարածության վրա։ Ֆունկցիայի՝ որպես հիլբերտյան տարածության տարրի, հասկացության վրա, հիմնվում են դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման որոշ մեթոդներ, օրինակ վերջավոր տարրերի մեթոդը։

Վեկտորի առավել ընդհանուր սահմանումը տրվում է ընդհանուր հանրահաշվի միջոցներով։

Ենթադրենք ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\langle F;+,*\rangle }$ — ը որևէ դաշտ է ${\displaystyle +}$ ադիտիվ գործողությամբ, ${\displaystyle *}$ մուլտիպլիկատիվ գործողությամբ, ${\displaystyle 0}$ ադիտիվ միավորով և ${\displaystyle 1}$ մուլտիպլիկատիվ միավորով։ ${\displaystyle {\mathfrak {V}}=\langle V;+\rangle }$ — ն որևէ աբելյան խումբ է ${\displaystyle \mathbf {0} }$ միավորով։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի ${\displaystyle F\times V\to V}$ գործողություն, որ ցանկացած ${\displaystyle a,b\in F}$ - ի և ցանկացած ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ - ի համար տեղի ունեն

1. ${\displaystyle (a+b)\mathbf {x} =a\mathbf {x} +b\mathbf {x} }$,
2. ${\displaystyle a(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\mathbf {x} +a\mathbf {y} }$,
3. ${\displaystyle (a*b)\mathbf {x} =a(b\mathbf {x} )}$,
4. ${\displaystyle 1\mathbf {x} =\mathbf {x} }$

հարաբերակցությունները, այդ դեպքում ${\displaystyle {\mathfrak {V}}}$ - ն կոչվում է վեկտորական տարածություն ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ դաշտի վրա (կամ գծային տարածություն), ${\displaystyle V}$ - ի տարրերը կոչվում են վեկտորներ, ${\displaystyle F}$ - ի տարրերը՝ սկալյարներ, իսկ նշված ${\displaystyle F\times V\to V}$ գործողությունը՝ վեկտորի բազմապատկումը սկալյարով։

Վեկտոր - համասեռ տարրերի հաջորդականություն։ Սա առավել ընդհանուր սահմանումն է այն առումով, որ ընդհանրապես կարող են տրված չլինել վեկտորական գործողություններ, դրանք կարող են ավելի քիչ լինել կամ դրանք կարող են չբավարարել գծային տարածության աքսիոմներին։ Հենց այդ տեսքով է վեկտորը հասկացվում ծրագրավորման մեջ, որտեղ, որպես կանոն, նշանակվում է որպես անուն-իդենտիֆիկատոր՝ քառակուսի փակագծերով (օրինակ, object[]):

Հատկությունների թվարկումը մոդելավորում է թվերի տեսությունում օբյեկտի դասակարգի և վիճակի սահմանումը։ Վեկտորի տարրերի տեսակները որոշում են օբյեկտի դասակարգը, իսկ տարրերի արժեքները՝ նրա վիճակը։ Ի դեպ, հավանական է, որ եզրույթի օգտագործումն արդեն դուրս է գալիս հանրահաշվում, կամ մաթեմատիկայում ընդհանրապես, ընդունվածի շրջանակներից։

Վեկտորը, որպես միաժամանակ մեծություն (մոդուլ) և ուղղություն ունեցող կառուցվածք, ֆիզիկայում դիտարկվում է որպես արագության, ուժի և նրանց հետ կապված կինեմատիկական կամ դինամիկական մեծությունների մաթեմատիկական մոդել։ Շատ ֆիզիկական դաշտերի (օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի կամ հեղուկի արագության դաշտի) մաթեմատիկական մոդելներ են համարվում վեկտորական դաշտերը։

Բազմաչափ և անվերջ աբստրակտ վեկտորական տարածությունները օգտագործվում են լագրանժյան և համիլտոնյան ֆորմալիզմում մեխանիկական և այլ դինամիկական համակարգերի նկատմամբ, ինչպես նաև քվանտային մեխանիկայում։

• The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 11: Vectors