Zárt halmaz

• A valós számok szokásos topológiájában az [a,b] alakú zárt intervallumok zártak.
• A [0,1] intervallum zárt a valós számok részhalmazaként, és [0,1] ∩ Q, a nulla és egy közötti racionális számok halmaza, a határokat is beleértve zárt részhalmaza a racionális számok halmazának, viszont a valós számok halmazának nem zárt részhalmaza.
• Vannak olyan halmazok, amelyek se nem nyíltak, se nem zártak. Például a [0,1[ alulról zárt, felülről nyílt intervallum, nem zárt, és nem nyílt.
• Vannak halmazok, amelyek nyíltak is és zártak is. Ilyen például az üres halmaz, vagy a teljes topologikus tér.
• Az [1, +∞[ intervallum zárt.
• A Cantor-halmaz is zárt.
• A Hausdorff-terekben az egyes pontok zártak.
• Ha X és Y topologikus terek, és az f függvény folytonos, akkor az Y-beli zárt halmazok ősképei is zártak.

A zárt halmaz tartalmazza a határát. Mivel a halmaz komplementere nyílt, ezért a halmazon kívül akármilyen irányba elmozdulva egy kicsit még mindig a halmazon kívül maradunk.

Zárt halmazok akármekkora metszete zárt, akár végtelen soké is, és véges sok zárt halmaz uniója is zárt. Végtelen sok zárt halmaz uniója akár nyílt is lehet. A megszámlálható sok zárt halmaz uniójaként kapott halmazokat F_σ halmazoknak nevezik.

Az üres halmaz zárt, és a teljes topologikus tér is zárt. Ha megadunk egy halmazt, és részhalmazok egy olyan rendszerét, amelynek tulajdonságai a fentiek, és eleme az üres és a teljes halmaz is, akkor ez meghatároz egy topológiát az adott halmazon.

A metszet tulajdonság lehetővé teszi a halmazok lezárását. Egy halmaz lezártja az a legszűkebb zárt halmaz, amely tartalmazza. Ez előállítható az összes, az adott halmazt tartalmazó halmaz metszeteként.

A ponthalmazok topológiájában zárt az a halmaz, amely tartalmazza a határát.

A nyílt halmazos definíció topologikus terekben értelmezhető, azaz olyan terekben, amelyeknek topologikus szerkezetük van. Így megjelenhetnek metrikus terekben, differenciálható sokaságokban, uniform terekben és pszeudometrikus terekben.

A zárt halmazok jellemezhetők sorozatokkal és hálókkal is. Az X topologikus tér egy A részhalmaza zárt akkor és csak akkor, ha az A pontjaiból alkotott összes háló összes határpontja továbbra is A-beli. Ha az X tér minden pontjának van megszámlálható környezetbázisa, mint a metrikus terekben, akkor az összes háló helyett elég a konvergens sorozatokat venni. Ez az általánosabb jellemzés lehetővé teszi a zárt halmaz fogalmának kiterjesztését a topologikus tereknél tágabb konvergenciaterekre. Ez a jellemzés az egész X topologikus teret veszi számításba, ezért nem mindegy, hogy X mely pontokat tartalmazza.

Egy halmaz zárt volta függ attól a tértől, aminek része. A kompakt Hausdorff-terek azonban abszolút zártak, tehát akármely Hausdorff-térbe beágyazva zártak maradnak. A Stone-Čech kompaktifikáció leírható úgy is, hogy a Hausdorff-terek nem konvergens hálóihoz határpontokat rendel.

Kompakt terek zárt részhalmazai kompaktak, és a Hausdorff-terek kompakt részhalmazai zártak.

A zárt halmazok hasznos jellemzést adnak a kompaktságra: egy topologikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden, nem üres zárt részhalmazaiból alkotott halmazrendszer, aminek üres a metszete, tartalmaz véges, üres metszetű részrendszert is.

Egy topologikus tér nem összefüggő, ha előáll két zárt, diszjunkt részhalmazának uniójaként. Totálisan összefüggéstelen, ha van zárt halmazokból álló nyíltbázisa.

Ha F az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  n dimenziós euklideszi részhalmaza, akkor a fenti zártságdefiníció ekvivalens a következővel:

Minden F-en kívüli ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ -hez van ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , hogy minden ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$  ahol ${\displaystyle \|x-y\|<\varepsilon }$ , szintén F-en kívüli.

Ez tulajdonképpen a komplementer nyíltságát jelenti.

Az ε szám választása az adott x ponttól függ, azaz minden pontra más ε a jó. Az x-hez ε-nál közelebb levő pontok halmaza nyílt gömb, mert a felszín nem tartozik hozzá. A zárt gömbök a belsejük mellett a határukat is tartalmazzák, tehát ha ${\displaystyle \|x-y\|\leq \varepsilon }$ , akkor y eleme az x közepű, ε sugarú zárt gömbnek.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  minden zárt részhalmaza előáll megszámlálhatóan sok nyílt intervallum metszeteként. Például [0,1] a ${\displaystyle \textstyle \left]-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}\right[}$  alakú intervallumok metszete, ahol n befutja a pozitív egész számok halmazát.

Legyen ${\displaystyle (X,d)}$  metrikus tér, és ${\displaystyle F}$  részhalmaza ${\displaystyle X}$ -nek. Ekkor ${\displaystyle F}$  zárt, ha:

Minden ${\displaystyle x}$  ${\displaystyle X\setminus F}$ -beli ponthoz van egy valós ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , hogy ${\displaystyle X}$  minden ${\displaystyle y}$  pontjára: Hogyha ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$ , akkor ${\displaystyle y}$  ${\displaystyle X\setminus F}$ -an fekszik.

Megjegyzés: ${\displaystyle \varepsilon }$  választása ${\displaystyle x}$  csak x-től függ.

Ez ekvivalens a következővel: ha ${\displaystyle (a_{n})}$  F-beli pontok sorozata, amely X-ben konvergens, akkor határértéke is F-beli.

Metrikus terekben azok az y pontok, amelyek egy adott x ponttól legfeljebb ε távolságra vannak, zárt gömböt alkotnak. Formálisan:

${\displaystyle {\overline {B}}_{r}(x):=\{y\in X|d(x,y)\leq r\}}$ 

és ez az X-beli halmaz x középpontú, r > 0 sugarú zártt gömb.

A zárt gömb tartalmazza a határát, hiszen amely pontok középponttól vett távolsága megegyezik a sugárral, azok is a gömbhöz tartoznak. A norma (matematika) cikkben példák láthatók arra, hogy a normált terekben nem mindig kör vagy gömb alakúak a gömbök.

A gömbök felhasználásával átfogalmazható a definíció:

Legyen (X,d) metrikus tér. Ekkor X egy F részhalmaza zárt, ha:

${\displaystyle \forall {x\in X\setminus F}:{\exists \varepsilon }>{0}:B_{\varepsilon }(x)\cap F=\emptyset }$ 

Ez a definíció megfelel az euklideszi terekben szokásos definíciónak.

• Nyílt halmaz
• Nyílt-zárt halmaz

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).