Nyílt halmaz

A nyílt halmazok segítenek az egyes pontok elkülönítésében. Hogyha egy pont körül van egy nyílt halmaz, ami nem tartalmaz egy másik pontot, akkor a két pont topológiailag elkülöníthető, így lehet mérték bevezetése nélkül beszélni topologikus közelségről.

A valós számok halmazán a szokásos euklideszi metrikában, ha x és y valós számok, akkor távolságuk így adható meg: d(x, y) = |x - y|. Így beszélhetünk egy valós szám környezetéről, vagyis egy adott valós számhoz közeli számok halmazáról. Ha x valós szám, akkor az ε sugarú környezetébe azok a valós szám,ok tartoznak, amelyek ε-nál közelebb vannak x-hez. Ha ε-t egyre kisebb pozitív számnak vesszük, akkor a környezet pontjai egyre inkább megközelítik x-et. Például, ha x = 0 és ε = 1, akkor a környezet a (−1,1) intervallum, tehát a −1 és 1 közötti számok. Ha ε = 0,5, akkor az intervallum a −0,5 és 0,5 közötti számokra szűkül. Ezek a számok pontosabban közelítik x-et, mint ha ε = 1.

Ahogy a fentiek mutatják, az x = 0 esetben az egyre kisebb ε esetén a (-ε,ε) intervallum egyre pontosabban megközelíti x-et. Jobban mondva, ezek az intervallumok egyre több információt adnak a 0 valós számról. A konkrét metrika helyett halmazokkal is leírhatók a közeli pontok. Ennek az ötletnek messzemenő következményei vannak: a különböző 0-t közös elemként tartalmazó halmazrendszerek esetén különböző eredményeket kaphatunk a 0 és más valós számok távolsága szerint. Ha a távolság méréséhez csak a teljes ${\displaystyle \mathbb {R} }$  halmazt fogadjuk el, akkor minden pont közel lesz 0-hoz, hiszen csak egy pontossági fok van. Tehát bizonyos értelemben a 0-tól minden 0 távolságra van. Ezt az segíthet elfogadni, hogy ez egy igaz-hamis állítás: ami valós, az 0-hoz közeli, ami nem valós, az 0-tól távoli.

Általában véve, a 0-t megközelítő halmazok rendszere a 0 környezetbázisa; ennek elemei nyílt halmazok. Ez a szemlélet más halmazokra is általánosítható. Jelölje az adott halmazt X, és legyen x eleme X-nek! Ekkor megadható olyan x-et tartalmazó halmazok rendszere, amely approximálja x-et. Ha ez megfelel bizonyos axiómáknak, akkor a távolságmérés egy jól definiált módszerét kapjuk. Például X egy tetszőleges pontja valamennyire megközelíthető kell, hogy legyen, ezért X-nek benne kell lennie ezek uniójában. Ha kisebb halmazokat is beveszünk, akkor x-et pontosabban is megközelítjük. Emellett vannak más axiómák is, amelyeket kielégítve egyre jobb tulajdonságú tereket kaphatunk.

A nyílt halmaz fogalma különböző szintű általánossággal alkotható meg.

Az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  euklideszi tér egy U részhalmaza nyílt, ha minden U-beli x ponthoz van olyan ε > 0, hogy az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  tér minden olyan pontja, ami ε-nál közelebb van x-hez, U-beli. Vagyis, ha U minden pontját annak egy környezetével együtt tartalmazza.

Metrikus terekben a definíció az euklideszi tér távolsággal megadott definíciójához hasonló. Egy X, d metrikus tér egy U részhalmaza nyílt, ha U minden pontjához van ε > 0, hogy minden y pont, amire d(x, y) < ε, y is eleme U-nak. Azaz, ha U minden pontjának van környezete, ami része U-nak.

Az euklideszi terekhez hasonlóan definiálhatjuk a nyílt gömböket. Egy x közepű, r sugarú nyílt gömb az x-hez r-nél közelebb levő pontokból áll:

${\displaystyle U_{r}(x):=\{y\in X|d(x,y)<r\}}$ 

A nyílt gömbhöz nem tartozik hozzá a határa, vagyis az x középponttól r távolságra levő pontok. A norma cikk tartalmaz példákat arra, hogy a gömb nem a megszokott gömb, vagy kör alakú.

Ha ${\displaystyle (X,d)}$  metrikus tér, akkor az ${\displaystyle X}$  ${\displaystyle U}$  részhalmaza nyílt, ha:

${\displaystyle \forall \ {x\in U}:{\exists \ \varepsilon }>{0}:U_{\varepsilon }(x)\subset U}$ 

Ha ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -t a szokásos euklideszi metrikával tekintjük, akkor ezek a halmazok nyíltak:

• Az ${\displaystyle (0,1)}$  intervallum, általánosabban a nyílt intervallumok. Mindezek az intervallumok gömbök ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -ben.
• Maga ${\displaystyle \mathbb {R} }$  is nyílt.
• A racionális számok ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  halmaza nyílt ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -ban, de nem nyílt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -ben.
• A ${\displaystyle (0,\pi ]}$  intervallum nem nyílt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -ben, de nyílt ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -ban, mert π nem racionális.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ -ben a nyílt halmazok elképzelhetők körvonaluktól megfosztott síkidomokként.

Minden nyílt gömb nyílt halmaz. Ez bizonyítható így:

Legyen a vizsgált gömb középpontja x, sugara r! Legyen ${\displaystyle y_{1}}$  az ${\displaystyle U(x,r)}$  gömb egy pontja! Ekkor ${\displaystyle \varepsilon _{1}=r-d(x,y_{1})}$  jó lesz a választott környezet sugarának, mivel ${\displaystyle U(y_{1},\varepsilon _{1})}$  része az ${\displaystyle U(x,r)}$  gömbnek. Hasonló módon belátható, hogy a zárt gömbök zártak.

Két nyílt halmaz metszete ismét nyílt; innen következik, hogy véges sok metszete szintén nyílt. Ezzel szemben nem következik, sőt, nem is igaz, hogy végtelen sok nyílt halmaz metszete is nyílt. Ha például ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -en, mint alaphalmazon vesszük az összes ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{a}},{\tfrac {1}{a}})}$  alakú nyílt intervallumot, ahol a befutja a pozitív egészeket, akkor a metszet a ${\displaystyle \{0\}}$  egyelemű halmaz lesz, ami nem nyílt:

${\displaystyle \bigcap _{a\in \mathbb {N} }\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right)=\left[\lim _{a\to \infty }-{\frac {1}{a}},\lim _{a\to \infty }{\frac {1}{a}}\right]=[0,0]=\{0\}}$ 

Tetszőleges sok, akár végtelen sok nyílt halmaz uniója is nyílt. Ez könnyen belátható, hiszen az unió minden pontja valamelyik tag eleme, ami környezetével együtt tartalmazza. De mivel a tag része az uniónak, ezért az unió is tartalmazza a környezetet.

A topologikus terek szerkezetét gyakran nyílt halmazaikkal adják meg; ekkor a nyílt halmaz alapfogalom.

Legyen a T X részhalmazainak egy rendszere olyan, hogy:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}:}$  Az üres halmaz és X eleme T-nek

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}:}$  T-beli elemek tetszőleges uniója is T-beli

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{3}:}$  Véges sok T-beli elem metszete szintén T-beli.

Ekkor (X, T) topologikus tér a T topológiával, és T elemei a nyílt halmazok. Ez a definíció a metrikus terek topológiájának általánosítása, hiszen az szintén topológia.

Emellett a nyílt halmazok megadhatók másként is, nyíltbázis vagy környezetbázis használatával.

Ha (X, 𝜑) topologikus tér, akkor egy U részhalmaz akkor és csak akkor nyílt, ha U minden U-beli pontnak környezete.

Ez a definíció a metrikus tereken használatos nyílt halmaz fogalmának általánosítása. A metrikus terek topologikus terek is, hiszen a fenti definíció szerinti nyílt halmazok rendszere topológiát alkot a metrikus téren. Emellett a metrikus tereknek más tulajdonságai is vannak, például elválasztási tulajdonságai, amelyeknek azonban nem minden topologikus tér tesz eleget. Ezek a topologikus terek nem lehetnek metrikus terek.

• Az üres halmaz nyílt-zárt^[1]
• A topologikus tér alaphalmaza nyílt-zárt
• Akárhány nyílt halmaz uniója nyílt^[2]
• Véges sok nyílt halmaz metszete nyílt^[2]

Végtelen sok nyílt halmaz metszete nem szükségszerűen nyílt. Például az (−1/n, 1/n) alakú nyílt intervallumok metszete nem nyílt, hiszen megegyezik a {0} halmazzal, ami a valós számok szokásos metrikájában nem nyílt. A megszámlálható sok nyílt halmaz uniójaként konstruálhatók a G_δ halmazok.

A nyílt halmazok központi szerepet kapnak a topológiában. A fogalmat a topologikus, a metrikus és az uniform terek megalkotásához használják fel.

A valós számok nyílt halmazai előállnak megszámlálható nyílt intervallum uniójaként.

Minden, topologikus térbe ágyazott halmaz tartalmaz nyílt halmazt, ha mást nem, akkor az üreset. A legnagyobb nyílt részhalmaz a halmaz belseje, ami előáll az összes nyílt részhalmaz uniójaként. Itt a nyíltság az egész téren értendő, és nem a halmazra vonatkoztatva.

Legyen X és Y topologikus tér, és f egy X-ből Y-ba menő függvény. Ekkor, ha Y minden nyílt részhalmazának ősképe nyílt X-ben, akkor f folytonos. Ekvivalensen, zárt halmaz ősképe zárt.

Ha f megőrzi a nyíltságot, akkor nyílt leképezés. A folytonossággal szemben nem ekvivalens a zárt halmazos tulajdonság. Az ${\displaystyle (s,t)\mapsto s}$  vetítés ${\displaystyle p\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$  nyílt, de az ${\displaystyle \{(s,t)\colon s\geq 0,st\geq 1\}}$  halmazt ${\displaystyle ]0,\infty [}$ -re képezi. A nyílt leképezésekkel vizsgálható a bijektív leképezések inverzének folytonossága. A funkcionálanalízis egyik központi tétele a nyílt lineáris leképezésekről a nyílt leképezések tétele.

Egy leképezés relatív nyílt, ha nyílt a képének altértopológiájára.

A halmazok nyílt volta a topológiától függ. A topologikus tereket sokszor tartóhalmazukkal jelöljük; ekkor a korábban bevezetett, vagy a szokásos topológiára gondolunk. Ha egy halmazon két topológia van megadva, akkor ha egy halmaz az egyikben nyílt, akkor a másikban nem biztos, hogy az. Például az altértopológiában nyíltak azok a halmazok, amelyeknek az altérrel vett metszete nyílt; ez új nyílt halmazokat vezet be.

Álljon az U halmaz a (0, 1) intervallum racionális számaiból! Ekkor U nyílt a racionális számok szokásos topológiájában, de nem nyílt a valós számok szokásos topológiájában. A racionális számok topológiájában minden pontjához van egy környezet, amiben levő racionális számok benne vannak az intervallumban. A valós számok halmazán ez nincs így, mivel minden racionális szám tetszőlegesen pontosan megközelíthető irracionális számokkal.

A halmazok nyíltsága és zártsága nem zárja ki egymást. Egy halmaz lehet egyszerre nyílt, zárt, vagy lehet egyik sem.

• Bármely topológiában a tartóhalmaz és az üres halmaz nyílt is, zárt is. Ez a két halmaz komplementere is egymásnak.
• Az ${\displaystyle I=(0,1)}$  intervallum nyílt, mert eleme az euklideszi topológiának. Ha zárt lenne, akkor a komplementere nyílt lenne. De komplementere az ${\displaystyle I^{C}=(-\infty ,0]\cup [1,\infty )}$  halmaz, ami nem áll elő megszámlálható sok nyílt intervallum uniójaként. Tehát I nyílt, de nem zárt.
• Hasonlóan belátható, hogy ${\displaystyle J=[0,1]}$  zárt, és nem nyílt.
• ${\displaystyle K=[0,1)}$  nem tartozik az euklideszi topológiához, és a fentiekhez hasonlóan komplementere, ${\displaystyle K^{C}=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$  sem állítható elő nyílt intervallumok megszámlálható uniójaként, tehát nem nyílt, és nem zárt.

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).