Matematikai modell

A matematikai modell egy rendszer leírása matematikai elképzelésekkel a matematika nyelvén. A matematikai modell létrehozatala a matematikai modellezés. Matematikai modelleket használnak a természettudományokban (mint a fizika, biológia, földtudomány, kémia) és a mérnöki területeken (mint amilyen a számítástechnika, villamosmérnöki tudományok), valamint a nem fizikai rendszereknél, mint amilyen társadalomtudományok (mint a közgazdaságtan, a pszichológia, a szociológia, a politológia). Matematikai modelleket használnak a zenében,^[1] nyelvészetben^[2] és a filozófiában (például az analitikus filozófiában).

A modell segítségével megmagyarázható a rendszer, és elemezhetőek egyes komponensek hatásai is, valamint előre jelezhetők különböző változások. Sok esetben a tudományos terület minősége attól függ, a matematikai modellek mennyire képesek visszaadni a tapasztalati úton nyert tudás eredményeit. Az elméleti matematikai modell és a gyakorlati mérések közötti különbség gyakran fontos eredményekhez vezetnek, melyek hozzájárulnak a tudományos terület fejlődéséhez.

A természettudományok hagyományos matematikai modelljei a felsoroltak többségét tartalmazza:

1. vezető egyenletek
2. kiegészítő almodellek
   1. definiáló, meghatározó egyenletek
   2. alkotó (rész)egyenletek
3. feltételezések és korlátozások
   1. kezdeti és határfeltételek
   2. klasszikus korlátozások és kinematikai egyenletek.

Sokféle matematikai modell létezik, melyek közé tartoznak többek között a dinamikai rendszerek, a statisztikai modellek, a differenciálegyenletek vagy a játékelméleti modellek. Ezek és a többi fajta is átfedheti egymást, egy modellben rengeteg elvont struktúra megtalálható. Összességükben a matematikai modellek lehetnek logikai modellek.

A matematikai modellek építőelemei a kapcsolatok, relációk és a változók. A relációt le lehet írni műveleti jelekkel, melyek között ott vannak az algebrai műveleti jelek, függvények, differenciáljelek. A változók a rendszer paramétereinek olyan elvont tulajdonságai, melyek kifejezhetőek mennyiségekkel. A matematikai modellek struktúrájuk alapján többféleképpen is csoportosíthatóak

• Lineáris vs. nemlineáris: Ha a matematikai modell minden művelete lineáris, akkor az eredményképpen létrejött matematikai modell is lineáris lesz. A matematikai modell minden más esetben nem lineárisnak számít. A lineáris és nemlineáris definíciója kontextustól függ, melyekben a lineáris modellnek lehetnek nemlineáris jellemzői is. Például a statisztikai lineáris modellben azt feltételezzük, hogy az adott paraméterek között lineáris a viszony, viszont lehet, hogy megelőző paraméterekre már nem lineáris a kapcsolat. Ehhez hasonlóan egy differenciálegyenlet is lehet lineáris, ha leírható lineáris operátorokkal, de lehetnek benne nemlineáris kifejezések is. A matematikai programozásos modellben, ha a szóbanforgó függvény és a feltételek egyaránt lineáris egyenletek, akkor a modellt lineáris modellnek lehet tekinteni. Ha ezek közül valamelyik nemlineáris, akkor az adott modell nemlineáris modell. A lineáris struktúra azt hozza magával, hogy a problémát kisebb darabokra lehet szedni, melyeket aztán egymástól függetlenül vizsgálnak, vagy más skálán értelmeznek, és olyan eredményekre jutnak, melyek megállják a helyüket a rendszer ismételt összerakása és újraskálázása után is. A nemlineáris rendszerek közül még az egyszerűbbekről is a káoszelmélet és az irreverzibilitás juthat az ember eszébe. Bár vannak kivételek, de a nemlineáris rendszerek és modellek sokkal bonyolultabbak és nehezebben tanulmányozhatóak, mint a lineáris rendszerek. A nemlineáris problémákat gyakran megpróbálják linearizálni, de ez problémás lehet akkor, ha valaki olyan aspektusokat kíván vizsgálni, mint az irreverzibilitás, ami kimondottan a nemlineáris függvények sajátja.
• Statikus vs. dinamikus: A dinamikus modell figyelembe veszi az idő változásával kapcsolatos változásokat is a rendszerben, míg a statikus (vagy állandó állapotú) modell a rendszert nyugalmi állapotában írja le. A dinamikus modelleket leginkább differenciálegyenletekkel vagy rekurzív sorozatokkal lehet leírni.
• Explicit vs. implicit: Ha az összes bemenő paramétert ismerjük, és azokból véges számú számítás elvégzésével megkapjuk a kimeneti értéket, akkor a modellt „explicitnek” nevezzük. Néha azonban csak a kimeneti értéket ismerjük, de az egyik input paramétert kell meghatározni, szintén véges számítással. Olyan módszerekkel, mint a Newton-módszer (ha a modell lineáris) vagy mint a Broyden-módszer (ha a modell nemlineáris). Ilyenkor a modellt „implicitnek” nevezzük. Például egy sugárhajtómű fizikai tulajdonságai, mint a turbina és a szórófej torokterülete meghatározható explicit módon, ha a termodinamikus ciklus mellett ismertek a repülési feltételek és az erőbeállítások, de a motor működési ciklusa más repülési viszonyok és erőbeállítások mellett nem határozható meg explicit módon a fizikai állandókból.
• Diszkrét vs. folyamatos: A diszkrét modellezés a tárgyakat diszkréten, magában kezeli. Ilyen a molekuláris modellekben a részecske vagy egy adott állapot a statisztikai modellben. A folyamatos modell ezzel szemben folyamatosnak tekinti az eseteket. Ilyen a csőben áramló folyadék sebessége, egy szilárd anyagban a hőmérséklet és a feszültség, vagy a ponttöltés miatt egy modellben meglévő elektromos erő, mely folyamatosan hat.
• Determinisztikus vs. sztochasztikus: A determinisztikus modell olyan modell, melyben a modell paraméterei vagy az adott paraméter korábbi állapota előre meghatározza egyes variánsok állapotát. Így a determinisztikus modell adott kezdő állapotból mindig ugyanazt az értéket fogja felvenni. Ezzel ellentétben a sztochasztikus (más néven statisztikai) modell esetében jelen van a véletlenszerűség, a változók állapotát pedig nem konkrét értékek írják le, hanem sokkal inkább valószínűség-eloszlások.
• Deduktív, induktív, lebegő: A deduktív modell egy elméletre épülő logikai struktúra. Az induktív modellek alapja a valós tapasztalatok és az ezekből levont következtetés, ezek általánosítása. A lebegő modell sem az elméletre, sem a gyakorlati tapasztalatokra nem támaszkodik, itt csak elképzelt struktúrákról van szó. A közgazdaságtanon kívül a társadalmi tudományok modelljeit azért kritizálták, hogy alaptalanok a modelljeik.^[3] A katasztrófaelmélet a tudományon belül lebegő modellnek számít.^[4]