Lemniszkáta

A lemniszkáta egy speciális Cassini-görbe. A Cassini-görbék a sík olyan pontjainak mértani helyei, melyekre igaz, hogy két adott ponttól való távolságának szorzata állandó. Azt a Cassini-görbét nevezzük lemniszkátának, amelyiken rajta van a két adott pontot összekötő szakasz felezőpontja. A lemniszkáta egy 8 (vagy ${\displaystyle \infty }$) alakú, negyedrendű síkgörbe.

Az ábra jelöléseivel derékszögű koordináta-rendszerben:

${\displaystyle {\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}-2c^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)=0}$

Polárkoordinátákkal:

${\displaystyle \rho =c{\sqrt {2\cos {2\varphi }}}}$

ahol

${\displaystyle \varphi \in \langle -{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{4}}\rangle \cup \langle {\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\rangle }$.

Paraméteres egyenletrendszere:

${\displaystyle x=ct{\sqrt {2}}{\frac {1+t^{2}}{1+t^{4}}}}$

${\displaystyle y=ct{\sqrt {2}}{\frac {1-t^{2}}{1+t^{4}}}}$

ahol ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

A görbe polárkoordinátákkal megadott egyenleteihez tartozó görbületi sugár:

${\displaystyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}={\frac {c{\sqrt {1+t^{4}}}}{3|t|}}}$

feltéve, hogy ${\displaystyle \rho \neq 0}$, illetve ${\displaystyle t\neq 0}$. A lemniszkáta egyes hurkainak területe:

${\displaystyle T=c^{2}\,}$,

Kerülete:

${\displaystyle k\approx 2c\cdot 1,8541\,}$.

Ha az

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=c^{2}\,}$

hiperbolát az

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}\,}$

körön tükrözzük, lemniszkátát kapunk.

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.