Kruskal–Wallis-próba

A Kruskal–Wallis-próba vagy Kruskal–Wallis H-próba^[1] (nevét William Kruskalról és W. Allen Wallisról kapta) egy hipotézis tesztelésen alapuló nemparametrikus statisztikai eljárás, amellyel tesztelhető, hogy egyes minták vajon származtathatóak-e egyazon eloszlásból.^[2][3][4] Kettőnél több független minta egy változó mentén történő összehasonlítására használják, amelyek rendelkezhetnek azonos, de akár különböző elemszámmal is. A próba parametrikus megfelelője az egyszempontos varianciaanalízis (ANOVA). A szignifikáns Kruskal–Wallis-próba azt mutatja meg, hogy legalább az egyik minta sztochasztikus dominanciával rendelkezik egy másik minta fölött (azaz, ha két csoportból kiveszünk véletlenszerűen egy-egy elemet, 50-50%-tól jelentősen eltér az esélye, hogy melyik csoport kivett elemének értéke nagyobb.) A próba önmagában nem mutatja meg, honnan ered a sztochasztikus dominancia, vagy hogy ez hány különböző csoportpárnál jelenik meg. Ezeknek a feltárására például a Dunn-teszt^[5] alkalmazható.

Mivel a Kruskal–Wallis-próba nemparametrikus, ezért nem feltétele a minták normál eloszlása, szemben például az analóg egyszempontos varianciaanalízissel. Normál eloszlások esetén az utóbbi a jobb választás, mivel érzékenyebb, de ha sérül a normalitás, érdemes a Kruskal–Wallis-próbát alkalmazni. A próba nullhipotézise az, hogy a vizsgált csoportok mediánja megegyezik (azaz nincs köztük sztochasztikus dominancia), alternatív hipotézisként tehát az tesztelhető, van-e különbség egyes összehasonlított csoportokhoz tartozó populációk mediánjai közt.

1. Rangsoroljuk minden csoport adatait együttesen; azaz, rangsoroljuk őket 1-től N-ig (ahol N a teljes elemszám), attól függetlenül, hogy melyik csoporthoz tartoznak. A megegyező értékek azon sorszámok átlagát kapják, amelyet az azonos értékek átlagosan kaptak volna, ha azok nem egyeznének (pl. a 3; 5; 5; 7 számok esetén a rangsor 1; 2,5; 2,5; 4, mivel a feltételezett nem egyezés során a két 5-ös érték a 2-es és a 3-as sorszámot kapták volna, aminek az átlaga 2,5).
2. A teszt-statisztika a következő:

   ${\displaystyle H=(N-1){\frac {\sum _{i=1}^{g}n_{i}({\bar {r}}_{i\cdot }-{\bar {r}})^{2}}{\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{n_{i}}(r_{ij}-{\bar {r}})^{2}}},}$ ahol:

   • ${\displaystyle n_{i}}$ az ${\displaystyle i}$ csoport elemszáma,
   • ${\displaystyle r_{ij}}$ a${\displaystyle j}$ elem összes elemből származtatott rangszáma ${\displaystyle i}$ csoportban,
   • ${\displaystyle N}$ az összelemszám,
   • ${\displaystyle {\bar {r}}_{i\cdot }={\frac {\sum _{j=1}^{n_{i}}{r_{ij}}}{n_{i}}}}$,
   • ${\displaystyle {\bar {r}}={\tfrac {1}{2}}(N+1)}$ minden lehetséges ${\displaystyle r_{ij}}$ értéknek az átlaga.
3. Ha az adatok közt nincsenek egyező értékek, akkor a ${\displaystyle H}$ nevezője pontosan ${\displaystyle (N-1)N(N+1)/12}$ és ${\displaystyle {\bar {r}}={\tfrac {N+1}{2}}}$. Ebből következik,

   ${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{g}n_{i}\left({\bar {r}}_{i\cdot }-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{g}n_{i}{\bar {r}}_{i\cdot }^{2}-\ 3(N+1).\end{aligned}}}$

   Az utóbbi egyenlet, csak a rangátlagok négyzetét tartalmazza.

4. Azonos rangok esetén korrigálható az előző pontban bemutatott egyenlet, ha elosztjuk ${\displaystyle H}$-t ${\displaystyle 1-{\frac {\sum _{i=1}^{G}(t_{i}^{3}-t_{i})}{N^{3}-N}}}$ -vel, ahol G az előforduló azonos rangok értékeinek a száma, t_i azon egyező értékek összesített száma, amelyek i csoportban bármely egyező értékhez tartoznak. Ez a korrekció általában nem okoz jelentős eltérést H értékében, hacsak nincs nagyszámú egyező érték.
5. Végül a p-érték a következő módon kerül kiszámításra: ${\displaystyle \Pr(\chi _{g-1}^{2}\geq H)}$ . Ha néhány ${\displaystyle n_{i}}$ érték alacsony (pl. kevesebb mint 5), akkor H valószínűségi eloszlása nagyban különbözhet ettől a khi-négyzetes eloszlástól. Ha rendelkezésre áll a khi-négyzetes valószínűségi eloszlás táblázata, a khi négyzetes kritikus értéke, ${\displaystyle \chi _{\alpha :g-1}^{2}}$-nak, megtalálható a táblázatban g – 1 szabadságfoknál a kiválasztott szignifikancia vagy alfa értéknél.
6. Ha a statisztika nem szignifikáns, akkor nem bizonyíthatunk sztochasztikus dominanciát egyetlen lehetséges mintapár közt sem. Ugyanakkor, ha a teszt szignifikáns, akkor tudjuk, hogy legalább egy minta sztochasztikus dominanciával rendelkezik egy másik felett. A kutató ezt követően egyenként összehasonlíthatja az összes lehetséges mintapárt, vagy használhat post hoc teszteket (pl. Dunn teszt), amely (1) pontosan azonos rangokat használ, mint az adott Kruskal-Wallis teszt, és (2) egyesített szórása megegyezik a Kruskal-Wallis próbánál feltételezett nullhipotézisével, hogy megállapíthassa melyik mintapárok között található szignifikáns különbség. Amikor többszörös összehasonlítást hajtunk végre, növekszik az elsőfajú hiba esélye, ami kétségbe vonja a többszörös összehasonlítások megbízhatóságát, ezért ilyenkor még alacsonyabb kritériumszintet, korrekciókat használunk.

Óriási számítási kapacitásra van szükség, hogy a Kruskal-Wallis teszt pontos valószínűségeit kiszámítsuk. A jelenleg létező szoftverek közül pillanatnyilag maximum 30 fős mintákon számítható ez ki. Ugyanezen programok ennél nagyobb mintákra, csak aszimptotikus becslést tudnak adni. A nagyobb mintákhoz tartozó konkrét valószínűségi változók ugyanakkor elérhetőek. Spurrier (2003) publikálta az egzakt valószínűségi táblázatokat egészen 45 fős minta nagyságig.^[6] Később Meyer és Seaman (2006) publikálta az egzakt valószínűségi eloszlásokat egészen 105 fős mintákig.^[7]

Tegyük fel, hogy ötödikes, kilencedikes és tizenkettedikes diákokat szeretnénk összehasonlítani, abban, hogy mennyire szeretik az irodalomórát. A hipotézisünk lehet tetszőleges, de tartalmaznia kell azt, hogy valamilyen eltérést várunk a csoportok között. Két lehetséges (statisztikai) hipotézis kombinációja: A kilencedikesek irodalomóra attitűd értékének mediánja nagyobb, mint a tizenkettedikeseké, de az ötödikesek attitűd értékének mediánja még a kilencedikeseknél is nagyobb (Ebben az esetben a szakmai hipotézisünk, hogy a három csoportból az ötödikesek szeretik a legjobban a matekot, míg a tizenkettedikesek a legkevésbé).

 A próba kiválasztásánál elsősorban két szempontot kell figyelembe vennünk, a mintánkat alkotó csoportjaink számát és típusát, valamint a függő változónk típusát. Az irodalom iránti attitűdre, mint ordinális változó tekinthetünk, ha pl. egy 1-5-ig tartó Likert-skálán mértük (hiszen az egyes pontok, közti különbség szubjektív, nem szükségszerűen azonos mértékű), és ezt a változót 3 egymástól független csoporton vizsgáljuk, így jelen esetben a Kruskal-Wallis a legalkalmasabb próba hipotézistesztelésre.

A próba ezután rangsorolja csoportoktól függetlenül az összes diák összes válaszát, majd megállapítja az egyes csoportok rangátlagát. Ezt követően pedig megmondja, hogy a mintánk mérete és a rangátlagokban mért különbségek alapján cáfolható-e (ill. milyen valószínűség mellett cáfolható) a nullhipotézis, azaz hogy a rangátlagok megegyeznek.

Ha szignifikáns eredményt kapunk az még nem mondja meg, hogy pontosan melyik osztályok közt van eltérés, csak azt, hogy valamely osztályok közt van. A konkrét csoportok közti különbséget a már korábban is említett post-hoc tesztekkel (pl. Dunn teszt^[5]) vizsgálhatjuk meg.

Egyszempontos varianciaanalízis

Mann-Whitney U teszt

Dunn teszt

Jonckheere trendvizsgálata

1. ↑ Kruskal-Wallis H Test using SPSS Statistics, Laerd Statistics
2. ↑ Kruskal; Wallis (1952). "Use of ranks in one-criterion variance analysis". Journal of the American Statistical Association doi: 10.1080/01621459.1952.10483441
3. ↑ Corder, Gregory W.; Foreman, Dale I. (2009). Nonparametric Statistics for Non-Statisticians. Hoboken; John Wiley & Sons. pp 99-105. ISBN 9780470454619
4. ↑ Siegel; Castellan (1988) Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (Second ed.). New York: McGraw–Hill. ISBN 0070573573.
5. ↑ ^{a b} Dunn, Olive Jean (1964). "Multiple comparisons using rank sums". Technometrics 6 (3): 241–252. doi:10.2307/1266041
6. ↑ Spurrier, J. D. (2003). "On the null distribution of the Kruskal–Wallis statistic". Journal of Nonparametric Statistics 15 (6): 685–691. doi:10.1080/10485250310001634719
7. ↑ Meyer; Seaman (April 2006). "Expanded tables of critical values for the Kruskal-Wallis H statistic". Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, San Francisco. Critical value tables and exact probabilities from Meyer and Seaman are available for download at http://faculty.virginia.edu/kruskal-wallis/. A munkát leíró cikk is megtalálható itt.
8. ↑ Janacsek, K. (2009). Kruskal-Wallis próba. Letöltve: 2015. December 11-én http://kognitiv.elte.hu/statisztika/index.php/Kruskal-Wallis_próba Archiválva 2020. február 21-i dátummal a Wayback Machine-ben

Daniel, Wayne W. (1990). "Kruskal–Wallis one-way analysis of variance by ranks". Applied Nonparametric Statistics (2nd ed.). Boston: PWS-Kent. pp. 226–234. ISBN 0-534-91976-6.

• A teszt online verziója
• A teszt használata SPSS-ben Archiválva 2020. február 21-i dátummal a Wayback Machine-ben