Koordinátaszingularitás

A fizikában akkor beszélünk koordinátaszingularitásról, ha egy koordináta-rendszerben annak belső tulajdonságai miatt egy jól meghatározható pontnak legalább egy koordinátája nem egyértelmű. Például a Föld koordináta-rendszerében az Északi-sark és a Déli-sark földrajzi hosszúsága nem adható meg egyértelműen, mivel minden hosszúsági kör itt metszi egymást. Eltérően a fizikai szingularitásoktól, egy megfigyelő számára semmi különös nincs ezekben a pontokban, mivel ez csak a koordináta-rendszer sajátossága. Egy másik koordináta-rendszerben vagy nem léteznek, vagy máshol bukkannak fel.

Egy pontban koordinátaszingularitás van, ha valamelyik koordináta nem egyértelmű; ez azonban egy második koordináta-rendszerre való áttéréssel megszüntethető.^[1][2]

A koordináta-rendszerekben különböző helyzetekben léphetnek fel koordinátaszingularitások. Például, ha nem lehet egyértelmű ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ koordinátákat rendelni az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ térben egy ${\displaystyle n}$ dimenziós részsokaság vagy absztrakt részsokaság pontjaihoz, ahol ${\displaystyle m\geq n}$, akkor ezekben a pontokban koordinátaszingularitás van. A koordinátaszingularitás természete felismerhető egy alkalmas koordináta-rendszer választásával, ahol ezeknek a pontoknak egyértelmű ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ koordinátáik vannak. Ez lehet az euklideszi térben a Descartes-féle koordináta-rendszer, sokaságok esetén egy térkép. Ekkor van egy ${\displaystyle T}$ koordinátatranszformáció, hogy

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})=T(v_{1},\ldots ,v_{n}),}$

ami azonban a koordinátaszingularitás miatt nem invertálható. Ha ${\displaystyle T}$ komponensenként differenciálható, ami az általában használt koordináta-rendszerekre teljesül, akkor a

${\displaystyle J(T)={\frac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial (v_{1},\ldots ,v_{n})}}}$

Jacobi-mátrix a koordinátaszingularitásokban szinguláris, innen a koordinátaszingularitás név.

Polárkoordináta-rendszerben a sík pontjait az origótól mért távolság és helyvektorának az x tengely pozitív felével bezárt szöge határozza meg, ahol ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}$ az origótól mért távolság és ${\displaystyle \theta \in (-\pi ,\pi ]}$ a helyvektor szöge. Polárkoordinátákról ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ Descartes-koordinátákra így térhetünk át:

${\displaystyle x=r\cdot \cos \theta }$

${\displaystyle y=r\cdot \sin \theta }$

Az ${\displaystyle (0,0)}$ origóban koordinátaszingularitás van: ha ${\displaystyle r=0}$, akkor a transzformáció eredménye független a ${\displaystyle \theta }$ szögkoordinátától. Polárkoordinátákban az origónak nincs egyértelmű ábrázolása.

A hengerkoordináta-rendszer a polárkoordináta-rendszerből kapható háromdimenziós koordináta-rendszer. A két polárkoordinátához hozzávesszük a magasságot, ${\displaystyle h}$-t harmadik koordinátaként. A transzformáció így bővül:

${\displaystyle z=h}$

Ebben a hengerkoordináta-rendszerben az összes ${\displaystyle (0,0,z)}$ pontban koordinátaszingularitás van.

Gömbkoordináta-rendszerben a háromdimenziós tér pontjait egy origótól mért távolság, ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}$, és két szögkoordináta, ${\displaystyle \phi \in (-\pi ,\pi ]}$ és ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ adja meg. Az átszámítás ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ Descartes-koordinátákba:

${\displaystyle x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r\cdot \cos \theta }$

A transzformáció a következő koordinátaszingularitásokat mutatja meg:

• Ha ${\displaystyle \theta =0}$, akkor a ${\displaystyle (0,0,r)}$ pontok transzformációjának eredménye a pozitív z-tengelyen független a ${\displaystyle \varphi }$ koordinátától.
• Ha ${\displaystyle \theta =\pi }$, akkor a ${\displaystyle (0,0,-r)}$ pont transzformációjának képe a negatív z-tengelyen független a ${\displaystyle \varphi }$ koordinátától.
• Ha ${\displaystyle r=0}$, akkor a transzformáció eredménye, az ${\displaystyle (0,0,0)}$ origó független a ${\displaystyle \varphi }$ és ${\displaystyle \theta }$ koordinátáktól.

Emiatt gömbkoordinátákban a teljes z-tengely összes pontjának nincs egyértelmű ábrázolása.

Az ${\displaystyle r=1}$ rögzítéssel kapjuk a gömbi koordináta-rendszert, ami megegyezik a földrajzi koordináta-rendszerrel. Mivel az a gömbfelület két pontban, az ${\displaystyle (0,0,1)}$ és a ${\displaystyle (0,0,-1)}$ pontokban metszi a z-tengelyt, azért a földrajzi koordinátákban csak a ${\displaystyle (0,0,1)}$ és a ${\displaystyle (0,0,-1)}$ pontokban van koordináta-szingularitás.

• Franz Embacher. Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik, 2. überarbeitete, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 167. o. (2011. október 24.) 
• Hans Jörg Dirschmid. Tensoren und Felder, 1., Wien: Springer, 492. o. (1996. október 24.) 
• Thomas Filk, Domenico Giulini. Am Anfang war die Ewigkeit: auf der Suche nach dem Ursprung der Zeit, 1., München: Beck, 243. o. (2004. október 24.) 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Koordinatensingularität című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.