Cayley-Hamiltonov teorem

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.}$

Njen karakteristični polinom je

${\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.}$

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0}$

Svaka matrica :${\displaystyle A}$ ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

${\displaystyle P(\lambda )=a_{n}*\lambda ^{n}+a_{n-1}*\lambda ^{n-1}+...+a_{1}*\lambda +a_{0}=0}$

To jest u matričnom obliku je:

${\displaystyle P(A)=a_{n}*A^{n}+a_{n-1}*A^{n-1}+...+a_{1}*A+a_{0}=0}$

gdje je :${\displaystyle A}$ kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :${\displaystyle B}$, koja je jednaka:

${\displaystyle B=(A-\lambda *E)}$

gdje je :${\displaystyle E}$ jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :${\displaystyle B}$ je jednaka:

${\displaystyle B^{-1}={\frac {1}{det(B)}}*adj(B)}$

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu s B s lijeve i desne strane:

${\displaystyle B*B^{-1}={\frac {B}{det(B)}}*adj(B)}$

${\displaystyle B^{-1}*B={\frac {1}{det(B)}}*adj(B)*B}$

Slijedi:

${\displaystyle E={\frac {B}{det(B)}}*adj(B)}$

${\displaystyle E={\frac {1}{det(B)}}*adj(B)*B}$

${\displaystyle det(B)*E=B*adj(B)}$

${\displaystyle det(B)*E=adj(B)*B}$

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}}$

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

${\displaystyle det(B)*E=B*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}}$

${\displaystyle det(B)*E=(A-\lambda *E)*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}}$

${\displaystyle det(B)*E=A*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}-\lambda *E*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}}$

Razvijmo sumu u red oblika:

${\displaystyle det(B)*E=A*B_{0}+A*\lambda *B_{1}+A*\lambda ^{2}*B_{2}+...+A*\lambda ^{n-1}*B_{n-1}-\lambda *B_{0}-\lambda ^{2}*B_{1}-...-\lambda ^{n}*B_{n-1}}$

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

${\displaystyle det(B)*E=A*B_{0}+\lambda *(A*B_{1}-B_{0})+\lambda ^{2}*(A*B_{2}-B_{1})+...+\lambda ^{n-1}(A*B_{n-1}-B_{n-2})-\lambda ^{n}*B_{n-1}}$

Usporedimo ovu jednadžbu s karakterističnim polinomom matrice :${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A)=a_{n}*A^{n}+a_{n-1}*A^{n-1}+...+a_{1}*A+a_{0}=0}$

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

${\displaystyle A*B_{0}=a_{0}*E}$

${\displaystyle A*B_{1}-B_{0}=a_{1}*E}$

. . . . . . . . .

${\displaystyle A*B_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}*E}$

${\displaystyle B_{n-1}=a_{n}*E}$

Ako dobiveni sistem jednadžbi pomnožimo s A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

${\displaystyle A*B_{0}=a_{0}*E}$

${\displaystyle A^{2}*B_{1}-A*B_{0}=a_{1}*A}$

. . . . . . . . .

${\displaystyle A^{n}*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}=a_{n-1}*A^{n-1}}$

${\displaystyle A^{n}*B_{n-1}=a_{n}*A^{n}}$

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

${\displaystyle P(A)=A*B_{0}+A^{2}*B_{1}-A*B_{0}+...+A^{n}*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}-A^{n}*B_{n-1}}$

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:

${\displaystyle P(A)=0}$