חוקי קפלר

 

תקופת חייו של קפלר, סוף המאה ה-16 ותחילת המאה ה-17, הייתה תקופה של שינוי מהותי בעולם האסטרונומיה. שינוי זה התרכז בעיקר במעבר מהמודל הגאוצנטרי העתיק למודל ההליוצנטרי שהחל להתבסס. המודל הגאוצנטרי גרס שכדור הארץ הוא מרכז היקום, והשמש וכוכבי הלכת סובבים אותו. מודל זה התערער בעקבות עבודתם של קופרניקוס ושל גלילאו גליליי, שפעל באותה עת באיטליה. על-פי המודל ההליוצנטרי השמש נמצאת במרכז היקום, וכדור-הארץ מקיף אותה יחד עם יתר כוכבי-הלכת.

בעבודתו התבסס קפלר על מדידותיו של האסטרונום הדני המפורסם טיכו ברהה, שהיה ידוע בדיוקו הרב - הדיוק של מדידותיו הגיע לשניית קשת אחת. ברהה התמיד במדידותיו במשך למעלה מעשרים שנה, והן שימשו כבסיס לניתוחים של קפלר. ברהה שימש באותה עת "המתמטיקאי הקיסרי" של רודולף השני, קיסר האימפריה הרומית הקדושה, וחיפש עוזר שיסייע לו לערוך חישובים מתמטיים. קפלר פרסם אז ספר בשם "Mysterium cosmographicum", התומך בתורת קופרניקוס. הספר הגיע לידיו של ברהה, והוא שכר את קפלר לשמש כעוזרו. קפלר עבר לגור בפראג, בירת האימפריה הרומית הקדושה. בתחילה, למרות יחסי הקרבה בין השניים, סירב ברהה לאפשר לקפלר גישה למדידותיו, ורק לאחר שקפלר נואש, החליט לעזוב, וכמעט מת מחוסר כול באכסניית דרכים, מצא אותו ברהה, שכנע אותו לחזור, ונתן לו גישה למדידות שביצע על מסלולו של מאדים.

ברהה הגה מודל משלו באשר לתנועת השמש וכוכבי הלכת, ולפיו כדור הארץ קבוע במקומו (אחרת, לטענתו, היה צריך להיות שינוי במפת השמים), השמש סובבת סביבו, ושאר כוכבי הלכת סובבים סביב השמש. ברהה נפטר ב-1601, וקפלר החליף אותו בתפקיד. קפלר הצליח באותה תקופה לנסח את שני החוקים הראשונים בעזרת ניתוח של תנועת מאדים בשמים. התקופה הפורייה והשלווה בפראג הסתיימה מבחינתו של קפלר בשנת 1611, כאשר בנו בן ה-7 נפטר, ואחריו מתה אשתו ברברה. באותה שנה נאלץ המלך רודולף להעביר את השלטון לאחיו מתיאס, שהיה פחות סובלני כלפי פרוטסטנטים, וקפלר הפרוטסטנטי נאלץ לעזוב את פראג. הוא עבר ללינץ, ושם התחתן בשנית. בלינץ גילה את החוק השלישי.

עבודתו של קפלר הושפעה רבות מתפיסתו: קפלר ביקש לתאר את תנועת כוכבי הלכת באמצעות קשרים מתמטיים, ואת מסלוליהם ביקש לתאר כעקומה מתמטית אחת. את הדחף הזה שאב קפלר מהפילוסופיה של אפלטון ופיתגורס. מאמציו של קפלר, כפי שהתבטאו בניתוח מסלולו של מאדים ובניסוח החוקים הנושאים את שמו, התרכזו בגילוי ההרמוניה הפיתגוראית של העולם^[2].

שני החוקים הראשונים התפרסמו בספרו של קפלר "Astronomia nova" ("האסטרונומיה החדשה") בשנת 1609. קפלר עצמו כתב שהחוק השלישי התגלה ב-15 במאי 1618, כאשר ספרו "Harmonices Mundi" ("ההרמוניה של העולמות") הגיע כבר לבית הדפוס. קפלר כתב בהרחבה על החוק בפרקים האחרונים של הספר, שיצא לאור ב-1619.

 

שלושת חוקי קפלר הם:

1. צורת המסלול של כל כוכב לכת היא אליפסה, שהשמש נמצאת באחד ממוקדיה.
2. חוק השטחים השווים: הקו שמחבר את כוכב הלכת עם השמש מכסה שטחים שווים במרווחי זמן שווים. משמעות חוק זה היא שככל שכוכב הלכת נע קרוב יותר לשמש מהירותו גדלה^[3].
3. החוק ההרמוני: ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי של האליפסה (הציר הסמימג'ורי). משמעות החוק כפולה: כוכבי הלכת הרחוקים יותר מהשמש הם בעלי זמן מחזור גדול יותר, ומהירותם קטנה יותר.

בהקשר זה יצוין המושג אקסצנטריות. אקסצנטריות של חתך חרוט היא מדד למידת החריגה שלו מצורה מעגלית. כלומר, ככל שהאליפסה יותר "פחוסה", כך האקסצנטריות שלה גבוהה יותר. האקסצנטריות של אליפסה היא פרמטר שערכו נע בין 0 ו-1 (חתך חרוט בעל אקסצנטריות 0 הוא מעגל). כפי שקובע חוק זה, צורת המסלול של כל כוכבי הלכת היא אליפסה, אולם במדידות מודרניות נמצא כי צורת המסלולים קרובה מאוד למעגל, ובניסוח מדויק יותר - ערכי האקסצנטריות של מסלולי כוכבי הלכת נמוכים מאוד (הערך הממוצע הוא 0.06 בקירוב; לנתונים מלאים ראו בערך כוכב לכת). מכאן ניתן להסיק שמדידותיו של ברהה היו כה מדויקות, עד כי קפלר הצליח להבחין באליפטיות של המסלולים על אף היותם קרובים מאוד למעגלים.

קפלר הכיר שלושה מודלים שניסו לתאר את תנועת כוכבי הלכת והשמש. המודל הגאוצנטרי של תלמי הניח שכדור הארץ נמצא במרכז והשמש וכוכבי הלכת סובבים סביבו במסלולים מעגליים שכוללים אפיציקלים (מעגלים קטנים יותר על גבי המעגל הגדול); המודל ההליוצנטרי של קופרניקוס הניח שכוכבי הלכת וכדור הארץ סובבים את השמש במסלולים מעגליים; והמודל של טיכו ברהה שלפיו השמש סובבת את כדור הארץ ושאר כוכבי הלכת סובבים את השמש.

קפלר הכיר את התצפיות הקדומות של תלמי, שהיוו את הבסיס האמפירי הן לתורת תלמי והן לתורת קופרניקוס, אך הוא הגיע למסקנה שמדידותיו של טיכו ברהה מדויקות יותר והחליט להשתמש בהן כבסיס לניתוח תנועתו של מאדים. הוא התבסס על 12 מדידות שבהן מאדים היה בניגוד, כלומר בכיוון ההפוך יחסית לשמש. בעזרת ניתוח גאומטרי מדויק, יחד עם הכרת אופי שבירת קרני האור באטמוספירת כדור הארץ, הבין קפלר שהמדידות לא מתאימות לאף אחד משלושת המודלים הקיימים. יתרה מכך, הוא הבין שתנועת מאדים איננה מעגלית, והוא חיפש עקומות אחרות שיתאימו למדידות של ברהה. הדבר לקח לו מספר שנים, ואף על פי שהיה קרוב לרשום את נוסחת האליפסה מתוך המדידות, הוא לא הגיע לכך. בסופו של דבר החליט קפלר ללכת בדרך הפוכה - הוא ניחש שהמסלול מתאים בצורתו לאליפסה, בדק את ההשערה ומצא שהיא אכן מתאימה לתצפיות^[4]. בנוסף, הוא בדק את מסלולו של כדור הארץ סביב השמש ומצא שגם הוא לא יכול להתאים למעגל. בעקבות כך, החליט קפלר להכליל את "חוק המסלולים האליפטיים" על כל כוכבי הלכת שנעים סביב השמש, וזאת במסגרת המודל ההליוצנטרי שבנכונותו נוכח קפלר זמן רב קודם לכן.

כאשר הבין קפלר שתנועתם של מאדים ושל כדור הארץ סביב השמש אינה מעגלית, ועוד בטרם ניסח את החוק הראשון, הוא ניסה למצוא ביטוי מתמטי שמתאר את תנועת כוכבי הלכת. הוא ראה שמהירותם משתנה בקטעים שונים של המסלול, ושיער, במונחים של ימינו, שהמהירות הרגעית נמצאת ביחס הפוך למרחק מהשמש באותו רגע. השערה זו לא הייתה מדויקת^[5], אולם ממנה הוא הסיק את "חוק השטחים" המוכר בתור החוק השני של קפלר. לאחר שהמשיך לנתח את נתוני המדידות של ברהה ולחפש קשרים מתמטיים בין גדלים שונים הקשורים למסלול כוכבי הלכת, הוא מצא את החוק השלישי. בנוסף, ניסה קפלר למצוא הסבר פיזיקלי סיבתי לתנועת כוכבי הלכת. הוא הושפע מעבודתו של ויליאם גילברט שעסקה במגנטיות, וסבר שהשמש מפעילה על כוכבי הלכת כוח הדומה לפעולתו של מגנט. כוח הכבידה, המהווה את ההסבר הסיבתי המקובל כיום לחוקי קפלר התגלה על ידי אייזק ניוטון בהמשך המאה ה-17.

 

קפלר היה הראשון שהציע שגרמי שמים נעים במסלולים לא מעגליים. עד לזמנו כל המודלים האסטרונומיים באירופה, לרבות המודל הגאוצנטרי של תלמי והמודל ההליוצנטרי של קופרניקוס, הסבירו את תנועתם של גרמי השמים באמצעות מערכות המבוססות על תנועה מעגלית אחידה. בהציעו שכוכב לכת נע בצורה אליפטית, היה קפלר הראשון שסטה מהתפיסה המקובלת, אותה הניח אפלטון כאלפיים שנה לפניו. עד עבודתו של קפלר, תנועה מעגלית אחידה נחשבה לתנועה טבעית, ואפילו גלילאו גליליי, שתמך במודל ההליוצנטרי, התקשה לזנוח את רעיון התנועה המעגלית האחידה, ובפרט סירב להכיר בחוקי קפלר^[6]. גלילאו טען שחפצים מתמידים בתנועתם במעגל ולא בקו ישר, כפי שטען ניוטון אחריו. שבירת הקיבעון בן אלפיים השנה, לתיאור תנועת גרמי השמים בעזרת תנועה מעגלית, הייתה לנקודת מפנה בחשיבה המדעית.

פרסומם של חוקי קפלר החליש בצורה ניכרת את התורה הגאוצנטרית התלמאית ואת הפיזיקה האריסטוטלית, שגרסו שכדור הארץ הוא מרכז היקום. זאת מכמה סיבות:

1. המודל של קפלר הניב את התחזיות המדויקות ביותר ביחס לתצפיות האמפיריות הטובות ביותר אז, מה שחיזק התייחסות ריאליסטית אליו, כלומר את האמונה שהמודל שלו מתאר את המציאות כפי שהיא, והוא לא רק מכשיר מתמטי נוח לחיזוי. זו הייתה גם השקפתו של קפלר עצמו.
2. קפלר קבע כי השמש נמצאת באחד המוקדים של האליפסות שבהן נעים כוכבי הלכת, ומכאן שהם מקיפים דווקא אותה ולא את כדור הארץ. גלילאו גליליי, שגילה ב-1610 את ארבעת הירחים של צדק, כלומר גופים המסתובבים סביב צדק, החליש עוד יותר את הגישה לפיה כל גרמי השמים סובבים את הארץ.
3. המודלים שהסתמכו על תנועה מעגלית, בפרט האריסטוטלי והתלמאי, הניחו שחייבת להיות מחשבה מכוונת מאחורי תנועתו של כוכב לכת במסלולו בתוך מערכת מסובכת של מעגלים הבנויים זה על זה (אפיציקלים ודפרנטים). כלומר, הם הניחו שהכוכב צריך "לדעת" בדרך כלשהי כיצד לנוע, או שמישהו בעל תבונה מניע אותו. בניגוד לכך, המודל של קפלר הוא לא-אנימיסטי, הוא לא נדרש להנחה הזאת, ומספק הסבר מכני באופיו לתנועת כוכב הלכת במסלולו. קפלר סבר שהשמש מניעה את הכוכב באמצעות קרניים שהן מעין חישורים שהיא שולחת אל כוכב הלכת, זאת בדומה לפעולתו של מגנט.
4. אריסטו סבר שכוכבי הלכת נעים על גלגלי קריסטל, אם כי בקרב האסטרונומים בימי הביניים הייתה מחלוקת לגבי ממשותם של גלגלים אלה. אם חוקי קפלר נכונים, לא יכולים להיות מעגלי קריסטל, משום שכוכבי הלכת הנעים באליפסה מוכרחים לעבור דרכם.
5. קפלר גילה סדירות מתמטית פשוטה, מה שחיזק את ההשקפה האפלטונית לגבי מרכזיותה של המתמטיקה בטבע. השקפה זו מנוגדת להשקפה האריסטוטלית שדוחה חוקיות מתמטית בעולם (התת-ירחי, אמנם), ומעדיפה הסברים איכותיים.
6. חיזוק ההשקפה האפלטונית המתמטית חיזק בעקיפין את התפישה ההליוצנטרית, משום שהתפיסה האפלטונית נתנה מרכזיות לשמש כמקור החיים והתבונה.

 

אייזק ניוטון, אבי המכניקה הקלאסית, הסתמך גם הוא על חוקי קפלר. ניוטון תהה מהו אותו כוח משיכה שמצד אחד גורם לתפוח ליפול מהעץ על פני כדור הארץ ומצד שני פועל בין גופים אסטרונומיים. עד תקופתו סברו המדענים, פרט לגלילאו, שהעולם העל-ירחי נשלט על ידי חוקי תנועה שונים מהעולם התת-ירחי, ואילו ניוטון סבר שמדובר באותו כוח. כדי למצוא את הכוח המבוקש, ביקש ניוטון למצוא חוק בדמות קשר מתמטי שיכלול גם את חוקי קפלר. הוא הסיק כי כוח הכבידה בין שני גופים תלוי במסותיהם. לאחר מכן בדק והגיע למסקנה כי כוח שיהיה פרופורציוני להופכי של ריבוע המרחק יעלה בקנה אחד עם חוקי קפלר. לבסוף הגיע ניוטון לנוסחה של כוח הכבידה האוניברסלי, שפועל בין כל שתי מסות: ${\displaystyle \ F={\frac {GMm}{r^{2}}}}$ . כוח הכבידה שמצא ניוטון הוא למעשה ניסוח כללי יותר של חוקי קפלר, וניתן להסיק ממנו את חוקי קפלר. בספרו "היסודות המתמטיים של פילוסופיית הטבע", הראה ניוטון כיצד ניתן להסיק את חוקי קפלר בדרך דדוקטיבית מתוך חוקי התנועה שלו ומתוך חוק הכבידה האוניברסלי. ניוטון עשה זאת תוך שימוש באמצעים גאומטריים בלבד, בלי להיעזר בחשבון האינפיניטסימלי שהוא עצמו המציא.

ניוטון לא הסתפק בכך, ומצא כי מסלוליהם של כוכבי-הלכת חייבים להיות אחד מחתכי החרוט האפשריים - מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה. הוא מצא כי אם כוכב-לכת יגדיל בצורה מלאכותית את מהירותו עד ערך גבולי מסוים, הוא יעבור ממסלול אליפטי למסלול פרבולי. אם מהירותו תגדל מעבר לערך גבולי זה, מסלולו יהפוך להיפרבולי. המסלולים הפרבולי וההיפרבולי הם מסלולים פתוחים, כלומר כוכבי לכת שינועו בהם יתרחקו מהשמש לבלי שוב.

חוקי קפלר אינם נכונים רק עבור מערכת השמש, אלא עבור כל מערכת של גופים שפועל ביניהם כוח משיכה שפרופורציוני להופכי של ריבוע המרחק ביניהם. כך לדוגמה, הוא נכון עבור מערכות של כוכבים כפולים ועבור ירחים של כוכב לכת. עם זאת, קבוע הפרופורציה בחוק השלישי של קפלר אינו נותר קבוע והוא שונה עבור כל מערכת ומערכת. זאת משום שקבוע זה תלוי במסתם של הגורמים בה, ולכן כאשר המסות שונות - הקבוע משתנה.

שימוש נוסף שנעשה בחוקי קפלר הוא במציאת מסתם של חורים שחורים על-מסיביים המצויים במרכזי גלקסיות. כדי למצוא את מסתו של חור שחור על-מסיבי, ניתן לחשב את מהירותם של כוכבים הנעים קרוב יחסית אליו, ובעזרת חישובים מתאימים לאמוד את מסת הגוף המניע אותם. כך למשל, נערכו חישובים דומים באשר למרכז הגלקסיה שלנו, שביל החלב. מסלוליהם של מספר כוכבים הסובבים את מרכז הגלקסיה נמדדו בדייקנות, ומהירות תנועתם נמדדה בעזרת אפקט דופלר. תוך שימוש בחוקי קפלר נעשו חישובים שגילו כי מסת הגוף (המכונה Sagittarius A*‎) שנמצא במרכז המערכת שווה ל-‎3.7×10⁶‎ מסות שמש. בשקלול עם גודלו של גוף זה, נמצא כי הוא חייב להיות חור שחור על-מסיבי^[7]. שימוש זה חייב להיעשות בעזרת כוכבים הנמצאים קרוב מאוד למרכז הגלקסיה, זאת משום שכוכבים רחוקים מהמרכז, וכאלו הנמצאים בשולי הגלקסיה, אינם מקיימים את חוקי קפלר. חריגה זו יוחסה לקיומו של חומר אפל.

חוקי התנועה של גלקסיות שונות מעט מחוקי קפלר עקב התחשבות בחומר האפל. ישנו מודל חלופי לחומר אפל, הנקרא דינמיקה ניוטונית מתוקנת (MOND) והוא נוסח על ידי מרדכי מילגרום ממכון ויצמן למדע^[8][9].

מכיוון שחוקי התנועה של קפלר מדויקים למדי ומתארים היטב את תנועת כוכבי הלכת במערכת השמש, ניתן להחיל חוקים אלו גם על מערכות פלנטריות אחרות.

החוק השלישי של קפלר משמש למציאת מרחקו של כוכב לכת חוץ שמשי מהכוכב שלו, על סמך מדידת זמן המחזור של התנועה, שהוא גודל הניתן למדידה תצפיתית^[10]. משימת טלסקופ החלל קפלר, המחפשת אחר כוכבי לכת חוץ שמשיים משתמשת בשיטה זו^[11]. תוכנית HARPS (קיצור של High Accuracy Radial Velocity Planet Searcher) בעלת טלסקופים ממוקמים על כדור הארץ מאתרת שינויים בספקטרום פליטה של כוכבים ובכך מוצאת מסה וזמן מחזור של כוכבי לכת המקיפים אותם. מרחק בין כוכב הלכת לבין הכוכב מחושב על סמך החוק השלישי של קפלר^[12].

בנוסף משתמשים בשיטה זו חקר מערכת של כוכבים כפולים. צורת החישוב דומה למקרה של כוכבי לכת, אולם קיים הבדל מהותי אחד: במערכת של כוכב שבת וכוכבי לכת (כמו מערכת השמש), מסת כוכבי הלכת זניחה לעומת מסת הכוכב, לכן הכוכב נחשב ל"קבוע במקומו", ואילו כוכבי הלכת נעים סביבו. לעומת זאת, במערכת של כוכבים כפולים, מסתם של הכוכבים דומה, ולכן מסת האחד אינה זניחה ביחס למסת השני. מסיבה זו, לא ניתן להזניח את מסת אחד הכוכבים, ויש לקחת בחשבון את סך המסות במערכת.

  ערך מורחב – בעיית קפלר

 

ניסוח החוק הראשון: "צורת המסלול של כל כוכב לכת היא אליפסה, כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה".

המשוואה היא:

${\displaystyle \ r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}}$ 

כאשר ${\displaystyle \ (r,\theta )}$  הן קואורדינטות קוטביות של כוכב הלכת, ${\displaystyle \ p}$  הוא מחצית מה-Latus Rectum (מיתר באליפסה שעובר דרך אחד ממוקדיה ומקביל לצירה המשני), ו-${\displaystyle \ \epsilon }$  היא האקסצנטריות, שערכה קטן מ-1.

כאשר ${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$ , כוכב הלכת נמצא בפריהליון, כלומר במרחק המינימלי מהכוכב:

${\displaystyle \ r_{min}={\frac {p}{1+\epsilon }}}$ 

כאשר ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$ , מתקבל ${\displaystyle \ r=p}$ .

כאשר ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$ , כוכב הלכת נמצא באפהליון, כלומר במרחק המרבי מהכוכב:

${\displaystyle \ r_{max}={\frac {p}{1-\epsilon }}}$ 

הציר הסמי-מג'ורי (מחצית הציר הראשי; ${\displaystyle \ a}$ ) הוא הממוצע האריתמטי של הפריהליון והאפהליון:

${\displaystyle \ a={\frac {p}{1-\epsilon ^{2}}}}$ 

הציר הסמי-מינורי (מחצית הציר המשני; ${\displaystyle \ b}$ ) הוא הממוצע הגאומטרי של הפריהליון והאפהליון:

${\displaystyle \ b={\frac {p}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}}$ 

ניסוח החוק השני: "הקו שמחבר את כוכב הלכת עם השמש מכסה שטחים שווים במרווחי זמן שווים". חוק זה ידוע גם בכינוי "חוק השטחים השווים"^[13].

לפי חוק זה, כאשר חולפים זמנים שווים, השטח שכיסה הקו המחבר את כוכב הלכת עם השמש במשך כל אחד מזמנים אלו זהה, ללא תלות במיקומו באליפסה. ההסבר לחוק זה נעוץ בכך שככל שכוכב הלכת קרוב יותר לכוכב סביבו הוא נע, כך הכוח שפועל עליו גדול יותר ומהירותו גדולה יותר. באותו אופן, כאשר הוא מתרחק מהכוכב, מהירותו קטנה והוא מואט. קפלר ניסה, בעזרת חוק זה, למצוא את מיקומו של כדור הארץ בזמנים מסוימים, אולם לא הצליח, שכן מהירות כדור הארץ משתנה תדיר. בעיה זו נפתרה עם המצאת החשבון האינפיניטסימלי. כיום, ניתן להסיק את החוק השני מתוך חוק שימור התנע הזוויתי.

 

ניסוח החוק השלישי: "ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי של האליפסה (Semi-major axis)". בניסוח מתמטי:

${\displaystyle \ \mathrm {T} ^{2}\propto a^{3}}$ 

כאשר ${\displaystyle T}$  הוא זמן המחזור של כוכב הלכת ו-${\displaystyle \ a}$  הוא הציר הסמי-מז'ורי (מחצית מהציר הראשי באליפסה). מכאן, שערך הביטוי ${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {T} ^{2}}{a^{3}}}}$  זהה עבור כל כוכבי הלכת במערכת השמש. כאשר ${\displaystyle T}$  נמדד ביחידות של שנים ארציות ו-${\displaystyle \ a}$  נמדד ביחידות אסטרונומיות, ערכו של ביטוי זה הוא 1 עבור כל כוכבי הלכת במערכת השמש.

בתנועה מעגלית, התאוצה הרדיאלית (לכיוון המרכז) פרופורציונית ל-${\displaystyle \ r\cdot \mathrm {T} ^{-2}}$ , כאשר ${\displaystyle \ r}$  הוא הרדיוס. אם מחילים את החוק השלישי של קפלר על תנועה מעגלית, שהיא מקרה פרטי של תנועה במסלול אליפטי, ניתן להסיק כי תאוצת הגוף פרופורציונית ל-${\displaystyle \ r\cdot r^{-3}=r^{-2}}$ , מה שהולם את חוק הכבידה של ניוטון, לפיו כוח המשיכה בין כל שני גופים שווה ל-${\displaystyle \ {\frac {GMm}{r^{2}}}}$ .

המשוואה הכללית הקשורה לפרופורציה הנתונה שלא הייתה ידועה לקפלר היא: ${\displaystyle \ T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3}}$ .

כאשר המדובר בשני גופים שמסתו של האחד אינה ניתנת להזנחה מול מסתו של השני, יש להתחשב בתנועתם של הגופים סביב מרכז המסה, ולא אחד סביב השני כפי שקורה במערכות כמו מערכת השמש. במצב זה (כמו במערכות של כוכבים כפולים), המשוואה המלאה היא ${\displaystyle \left({\frac {T}{2\pi }}\right)^{2}={a^{3} \over G(M+m)}}$ 

קפלר עצמו^[14] ראה בחוק השלישי "הרמוניה" דמוית מוזיקה. חוק זה אף מכונה לפעמים "חוק הרמוני"^[15].

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: חוקי קפלר

• הספר "Harmonices Mundi" המקורי שכתב קפלר, בו מופיע החוק השלישי (בלטינית)
• הסבר מפורט על תגליותיו של קפלר (באנגלית)
• שיטת ההוכחה של קפלר, מאת J.V. Field ב-Plus Magazine (באנגלית)
• אודות יוהאנס קפלר ואודות חוקי קפלר (באנגלית)
• חוקי קפלר בקורס "From Stargazers to Starships" (באנגלית)
• יוהאנס קפלר באתר נאס"א (באנגלית)
• חישוב מסת כוכב במערכת זוגית תוך שימוש בחוקי קפלר יחד עם ההרחבה של ניוטון, באתר נאס"א (באנגלית)
• קורס באסטרודינמיקה שעוסק בחוקי קפלר וביישומים שלהם (באנגלית)
• פרק מקורס בדינמיקה אנליטית קלאסית של אוניברסיטת טקסס באוסטין שעוסק בתנועה פלנטרית. בפרק זה מופיע פיתוח של חוקי קפלר מתוך עקרונות שכיום נחשבים לבסיסיים יותר (באנגלית)
• חוקי קפלר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• הערך "משוואת קפלר", באתר אסטרופדיה
• הערך "חוקי קפלר", באתר אסטרופדיה
• הערך "אלמנטים של מסלול", באתר אסטרופדיה
• כמה מילים על חוק השטחים (מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית")