קבוע הפרבולה האוניברסלי

במתמטיקה, קבוע הפרבולה האוניברסלי (המסומן באות P) הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי אשר מוגדר עבור כל פרבולה כיחס בין אורך הקשת והקטע המחבר בין המוקד והמדריך^{[דרושה הבהרה]} (ראו שרטוט). ערכו של הקבוע הוא:

${\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\dots }$

הפרבולה והמעגל הם חתכי החרוט היחידים שיש להם קבוע אוניברסלי (למעגל יש את המספר פאי).

אם נסתכל על פרבולה ${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}$, ונחשב ממנה את הקבוע:

${\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt\quad (x=2ft)\\&=\operatorname {arcsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$

המדריך של הפרבולה היא ${\displaystyle \ell =2f}$ והמוקד הוא ${\displaystyle p=2f}$.

קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי מכיוון שאם נניח שהוא אלגברי ונחסר שורש שתיים ${\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}$ ונעלה בחזקת e אז נקבל ${\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}$, ועל פי משפט לינדמן-ויירשטראס, אז זה אומר שהמספר שורש שתיים פחות אחד הוא מספר טרנסצנדנטי, וזה סתירה. אז על פי זה, קבוע המספר האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי, מכאן הוא גם מספר אי רציונלי.

המספר גם משומש במשפט הבא: המרחק הממוצע של נקודה אקראית למרכז ריבוע היחידה הוא:

${\displaystyle d_{\text{avg}}={P \over 6}.}$

הוכחה:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}.\end{aligned}}}$

• קבוע הפרבולה האוניברסלי, באתר MathWorld (באנגלית)