העתקה אפינית

בגאומטריה, העתקה אפינית או טרנספורמציה אפינית (מלטינית, affinis, "מחובר עם") היא פונקציה בין מרחבים אפינים אשר משמרת נקודות, קווים ישרים ומישורים. כמו כן העתקה אפינית על קווים מקבילים משמרת את ההקבלה ביניהם. העתקה אפינית לא בהכרח שומרת על זוויות בין ישרים או מרחק בין נקודות אבל היא משמרת את יחס המרחקים בין כל שלוש נקודות שנמצאות על אותו ישר.

דוגמאות להעתקה אפינית כוללות: הזזה, שינוי קנה מידה, שיקוף, סיבוב, גזירה והרכבה שלהן בכל סדר שהוא.

אם ${\displaystyle X}$ ו-${\displaystyle Y}$ הם מרחבים אפיניים, אז כל העתקה אפינית ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ היא מהצורה ${\displaystyle f(x)=Mx+b}$, כאשר ${\displaystyle M}$ היא העתקה ליניארית מ-${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$, ו-b הוא וקטור ב-${\displaystyle Y}$. כאשר ${\displaystyle b\neq 0}$, ההעתקה אינה משמרת את איבר האפס, וזאת בניגוד להעתקה ליניארית. מכך נובע שהעתקה אפינית היא הכללה של ההעתקה הליניארית.

כל המרחבים האוקלידיים הם אפיניים, אבל יש מרחבים אפיניים שאינם אוקלידיים. בקואורדינטות אפיניות, ובכללן קואורדינטות קרטזיות במרחבים אוקלידיים, כל קואורדינטת פלט של העתקה אפינית היא צירוף ליניארי של כל קואורדינטות הקלט וסקלר אחד. דרך נוספת להציג העתקה אפינית היא לבחור את נקודות המוצא, ואז כל העתקה אפינית שווה להעתקה ליניארית (של וקטורי המיקום במרחב) ואחריה ההזזה.

העתקה אפינית ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ בין שני מרחבים אפיניים היא פונקציה על הנקודות שבווקטורים של מרחב ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ המתנהגות באופן ליניארי.^[1] למשל, ${\displaystyle f}$ מגדירה העתקה ליניארית ${\displaystyle \varphi }$, כך שעבור כל זוג של נקודות ${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}$

או

${\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)}$.

ניתן לתת מובן אינטואיטיבי יותר להגדרה זו אם נבחר את ראשית הצירים ${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$, ונגדיר את ${\displaystyle O'\in B}$ להיות שווה ל- ${\displaystyle f(O)}$, אז עבור כל וקטור ${\displaystyle {\vec {x}}\in {\mathcal {A}}}$:

${\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}}))}$.

כלומר, באופן אינטואיטיבי, ${\displaystyle f}$ מורכבת מהזזה ומהעתקה ליניארית.

בהינתן שני מרחבים אפיניים ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ו-${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ מעל אותו השדה, פונקציה ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ היא העתקה אפינית, אם ורק אם עבור כל משפחה ${\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}$ של נקודות משוקללות ב-${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ המקיימות

${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1}$,

אז בהכרח^[2]

${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})}$.

במילים אחרות, ${\displaystyle f}$ משמרת מרכז כובד.

כאמור, העתקה אפינית היא ההרכבה של שתי פונקציות: הזזה והעתקה ליניארית. אלגברה וקטורית רגילה משתמשת בכפל מטריצות לייצג מיפוי ליניארי, והוספת וקטורים לייצוג הזזות. באופן פורמלי, במקרה בעל מספר סופי של ממדים, אם ההעתקה הליניארית מיוצגת ככפל במטריצה ${\displaystyle A}$ וההזזה מיוצגת כחיבור וקטור ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ניתן לייצג העתקה אפינית ${\displaystyle f}$ הפועלת על וקטור ${\displaystyle {\vec {x}}}$ בצורה

${\displaystyle {\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}$

ניתן לייצג גם את ההזזה ואת המיפוי הליניארי באמצעות כפל מטריצות בודד, אם מרחיבים הן את הווקטורים והן את המטריצות: לווקטורים מוסיפים שורה אחרונה ובה המספר 1, ולכל המטריצות מוסיפים שורה של אפסים בתחתית, ועמודה נוספת (וקטור ההזזה) מימין, שבתחתיתה המספר 1. כך, למשל, אם ${\displaystyle A}$ מטריצה,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\,&A&&{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}}$

שווה לפעולה

${\displaystyle {\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}$

המטריצה המורחבת המוזכרת לעיל נקראת מטריצת העתקה אפינית.

ייצוג זה מציג את הקבוצה של כל ההעתקות האפיניות ההפיכות כמו מכפלה חצי ישרה של ${\displaystyle K^{n}}$ ו-${\displaystyle GL(n,K)}$. זו חבורה תחת פעולת ההרכבה של פונקציות, שנקראת החבורה האפינית.

כפל רגיל בין מטריצה לוקטור תמיד מעביר את הראשית לראשית, ולכן הוא אינו יכול לייצג הזזה, שכן הזזה מעבירה בהכרח את הראשית לנקודה אחרת. התוצאה של צירוף קואורדינטת "1" לכל וקטור היא שהמרחב שממפים אליו הופך להיות תת-מרחב של מרחב עם מימד נוסף. במרחב הזה, המרחב המקורי תופס תת-קבוצה שבה הקואורדינטה הנוספת היא 1. לפיכך הראשית של המרחב המקורי נמצאת ב. ${\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)}$, ולכן הזזה בתוך המרחב המקורי על ידי העתקה ליניארית מממד גבוה יותר אפשרית.

היתרון בשימוש בקואורדינטות הומוגניות הוא שניתן להרכיב כל שילוב של העתקות אפיניות להעתקה אחת, על ידי הכפלה של המטריצות המתאימות. מאפיין זה משמש בהרחבה בגרפיקה ממוחשבת, בראייה ממוחשבת וברובוטיקה.

אם הווקטורים ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n+1}}$ הם הבסיס של המרחב של הטלי וקטור מקום, ואם ${\displaystyle {\vec {y}}_{1},\dotsc ,{\vec {y}}_{n+1}}$ הם הווקטורים המתאימים במרחב וקטורי נוסף אז המטריצה המורחבת ${\displaystyle M}$ שהיא ההעתקה האפינית הזו:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\vec {y}}\\1\end{array}}\right]=M\left[{\begin{array}{c}{\vec {x}}\\1\end{array}}\right]}$

היא

${\displaystyle M=\left[{\begin{array}{ccc}{\vec {y}}_{1}&\ldots &{\vec {y}}_{n+1}\\1&\ldots &1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}{\vec {x}}_{1}&\ldots &{\vec {x}}_{n+1}\\1&\ldots &1\end{array}}\right]^{-1}}$.

הנוסחה הזו עובדת בלי להתחשב במספר הממדים של המרחב, המרחב הנוסף או התמונה. לדוגמה, העתקה אפינית של מישור וקטורי מוגדר ביחידות מהידע של המיקום של שלושה קודקודים של משולש ולאן הם ממופים.

העתקה אפינית משמרת:

1. את הקשר בין נקודות על אותו קו; כלומר, שלוש נקודות (או יותר) אשר נמצאות על אותו קו ימשיכו להיות על אותו קו לאחר השינוי.
2. יחס של וקטורים לאורך קו; כלומר, עבור נקודות ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},}$ הנמצאות על אותו קו, היחס בין ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}$ ובין ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{2}p_{3}}}}$ זהה ליחס בין ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}$ ובין ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{2})f(p_{3})}}}$.
3. באופן כללי יותר, היא משמשת את מרכז הכובד של אוסף משוקלל של נקודות.

העתקה אפינית היא הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה A היא הפיכה וההמטריצה ההופכית היא

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]}$

ההעתקות האפיניות ההפיכות (ממרחב אפיני לעצמו) הן החבורה האפינית. אם הממד של המרחב הוא n, החבורה הליניארית הכללית ממעלה n היא תת חבורה של החבורה האפינית, והחבורה האפינית עצמה היא תת-חבורה של החבורה הליניארית הכללית מממעלה n+1.

העתקות הדמיון מגדירות תת-חבורה שבה ${\displaystyle A}$ היא מטריצה אורתוגונלית המוכפלת בסקלר. לדוגמה, אם ההעתקה האפינית פועלת על מישור, ואם הדטרמיננטה של ${\displaystyle A}$ היא 1 או ‎-1 אז ההעתקה משמרת שטח. העתקות אלו מגדירות תת-חבורה שנקראת החבורה האקווי-אפינית. העתקה שהיא גם אקווי-אפינית וגם העתקית דמיון היא קונגרואנציה של המישור עם מרחק אוקלידי.

לכל אחת מהחבורות שנמנו לעיל יש תת-חבורה של העתקות שמשמרות כיווניות: חבורות שבהן הדטרמיננטה של ${\displaystyle A}$ היא חיובית. עבור קונגרואציות של המרחב התלת-ממדי עם מטריקה אוקלידית, זוהי חבורת התנועות של גוף קשיח: הזזות במרחב וסיבובים.

אם קיימת נקודה קבועה במרחב, ניתן לבחור אותה כראשית הצירים, וההעתקה האפינית מצטמצמת להעתקה ליניארית. בחירה כזו עשויה, כתלות בהקשר, להקל על סיווג והבנה של ההעתקה. לדוגמה, תיאור של העתקה כסיבוב סביב ציר מסוים בזווית מסוימת יתן רעיון כללי טוב יותר להתנהגות הכללית של ההעתקה מאשר לתאר את ההעתקה כצירוף של הזזות וסיבוב.

העתקה אפינית בשני ממדים כוללת

• הזזות
• שינוי קנה מידה בכיוון מסוים, ביחס לקו בכיוון אחר (לא בהכרח בניצב), בשילוב עם הזזה, שאינה בהכרח בכיוון שינוי קנה המידה. ניתן להכליל העתקות אלו, אם ניתן לקנה המידה להיות אפס (הקרנה) או שלילי; עבור קנה מידה שהוא בדיוק ‎-1, זהו שיקוף, ובשילוב עם הזזה, מתקבלת חבורה של שיקופי הזזה (Glide reflections),
• סיבוב בשילוב עם הזזה,
• גזירה בשילוב עם הזזה ושינוי קנה מידה, או
• סחיטה (אנ'), בשילוב עם הזזה ושינוי קנה מידה.

להמחשת פעולתה של ההעתקה האפינית הכללית של המישור האוקלידי, ניתן לבחור שתי מקביליות ABCD ו-A'B'C'D'‎. ללא תלות במיקומן של הנקודות, קיימת העתקה אפינית T של המישור, שמעבירה כל נקודה במקבילית הראשונה לנקודה המתאימה לה במקבילית השנייה. אם לא כוללים את המקרה המנוון שבו ל-ABCD יש שטח 0, אז ההעתקה האפינית T היא יחידה.

העתקות אפיניות לא משמרות אורכים או זוויות; הן מכפילות שטח בגורם קבוע, ${\displaystyle S_{ABCD}/S_{A'B'C'D'}}$.

העתקה T נתונה עשוי להיות "ישירה" (משמרת אוריינטציה), או "עקיפה" (הופכת אוריינטציה). ניתן לזהות את סוג האוריינטציה על ידי בחינת השפעתה על שטח בעל סימן (למשל, תוצאתה של מכפלה וקטורית).

פונקציות ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c}$ עם ${\displaystyle m}$ ו-${\displaystyle c}$ קבועים, הן העתקות אפיניות נפוצות.

המשוואה הבאה מבטאת העתקה אפינית מעל GF (2⁸‎):

${\displaystyle \{a'\}=M\{a\}\oplus \{v\},}$

כאשר ${\displaystyle [M]}$ היא מטריצה ו-${\displaystyle \{v\}}$ הוא וקטור, והם מוגדרים כך: ${\displaystyle M\{a\}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}}$ :${\displaystyle \{v\}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}.}$

למשל, העתקה אפינית של אלמנט ${\displaystyle \{a\}=y^{7}+y^{6}+y^{3}+y=\{11001010\}}$ בסדר בתים בינארי מחושב כדלקמן:

${\displaystyle a_{0}'=a_{0}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0}$

${\displaystyle a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${\displaystyle a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0}$

${\displaystyle a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1.}$

לפיכך, ${\displaystyle \{a\}=y^{7}+y^{6}+y^{5}+y^{3}+y^{2}+1=\{11101101\}=\{ED_{16}\}}$.

ב-ℝ², השינוי שמוצג מימין מושג באמצעות ההעתקה הנתונה על ידי:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}$

העתקה של שלוש הנקודות במשולש המקורי (באדום) נותנת שלוש נקודות חדשות היוצרות משולש חדש (כחול). ההעתקה הזו מעוותת ומזיזה את המשולש המקורי.

למעשה, ניתן לקבל כל משולש מכל משולש אחר על ידי העתקות אפיניות. זה נכון גם עבור כל המקביליות, אבל לא עבור כל המרובעים.

• מטריצת מעבר
• גאומטריה אפינית
• הקרנה תלת־ממדית
• שטוחות (גאומטריה)
• בנט פונקציה

• העתקה אפינית, באתר MathWorld (באנגלית)