העתקה ליניארית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, היא העתקה (פונקציה) ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, השומרת על החיבור והכפל בסקלר. באופן פורמלי יותר, העתקה ליניארית היא העתקה אדיטיבית והומוגנית בין שני מרחבים וקטוריים (מעל אותו שדה). מכיוון שהעתקה ליניארית שומרת על כל הפעולות, היא מהווה מורפיזם בקטגוריה של המרחבים מעל השדה.

העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בוקטורי קואורדינטות (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות איזומורפיים).

להעתקה ליניארית ממרחב ${\displaystyle V}$ אל עצמו, כלומר ${\displaystyle T\colon V\to V}$, נהוג לעיתים לקרוא אופרטור ליניארי, אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.

העתקה ${\displaystyle T}$ ממרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ מעל שדה F אל מרחב וקטורי ${\displaystyle W}$ מעל אותו שדה (מסמנים ${\displaystyle T\colon V\to W}$) תקרא העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. ${\displaystyle T}$ משמרת חיבור (אדיטיביות): לכל שני וקטורים ${\displaystyle v,u}$ השייכים למרחב ${\displaystyle V}$ מתקיים: ${\displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u)}$
2. ${\displaystyle T}$ משמרת כפל בסקלר (הומוגניות): לכל וקטור ${\displaystyle v}$ השייך למרחב ${\displaystyle V}$, ולכל סקלר ${\displaystyle \alpha }$ השייך לשדה F מתקיים: ${\displaystyle T(\alpha v)=\alpha T(v)}$

משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה ${\displaystyle T}$ (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים ${\displaystyle v,u}$ ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה – התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה ${\displaystyle T}$ על התוצאה של כפל הווקטור ${\displaystyle v}$ בסקלר ${\displaystyle \alpha }$, או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור ${\displaystyle v}$ ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר ${\displaystyle \alpha }$ – הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.

מההגדרה נובעת התכונה הכללית, שבהינתן וקטורים ${\displaystyle \{v_{k}\}_{k=1}^{n}}$ וסקלרים ${\displaystyle \{\lambda _{k}\}_{k=1}^{n}}$ מתקיים: $${\displaystyle \ T\left(\sum _{k=1}^{n}{\lambda _{k}v_{k}}\right)=\sum _{k=1}^{n}{\lambda _{k}{T(v_{k})}}}$$

מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה, היא שהגרעין של העתקה ליניארית לעולם אינו הקבוצה הריקה ותמיד כולל את וקטור האפס ${\displaystyle {\vec {0}}\in V}$: $${\displaystyle \ T({\vec {0}})=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)={\vec {0}}}$$

מסקנה נוספת מכך היא קריטריון הכרחי לכך שפונקציה בין מרחבים וקטוריים היא העתקה ליניארית. אם ${\displaystyle T\colon V\to W}$ היא העתקה ליניארית אז ${\displaystyle T({\vec {0}})={\vec {0}}}$. מאחר שקל לבדוק תנאי זה הוא מהווה כלי יעיל כדי לשלול את היותה של פונקציה חשודה העתקה ליניארית: אם T לא מעבירה אפס לאפס אז היא לא העתקה ליניארית.

• אם ${\displaystyle A}$ היא מטריצה מסדר ${\displaystyle m\times n}$, אז ${\displaystyle A}$ מגדירה העתקה ליניארית ${\displaystyle T_{A}\colon \mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m}}$ מ-${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ל-${\displaystyle \mathbb {F} ^{m}}$ כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב־${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ על ידי כפל מטריצות מימין: ${\displaystyle T_{A}({\vec {x}})=A{\vec {x}}}$. זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, מכיוון שבדרך זו ניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מממד סופי.
• טרנספורמציית האפס ${\displaystyle \mathbf {0} \colon V\to W}$ (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את וקטור האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות ${\displaystyle \operatorname {Id} \colon V\to V}$ (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n},W=\mathbb {R} ^{m}}$ אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-${\displaystyle T_{A}}$ (העתקה ליניארית באמצעות הכפלה במטריצה) כאשר ${\displaystyle A}$ היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות ${\displaystyle \operatorname {Id} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ניתן לייצג כ-${\displaystyle T_{A}}$ על ידי ${\displaystyle A=I_{n}}$ כאשר ${\displaystyle I_{n}}$ היא מטריצת היחידה מסדר ${\displaystyle n}$ (כלומר, בגודל ${\displaystyle n\times n}$).
• ההעתקה ${\displaystyle T_{A}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ עם ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה-${\displaystyle x}$ פי ${\displaystyle 2}$, בעוד את ציר ה-${\displaystyle y}$ היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2x\\y\end{bmatrix}}}$$ ולכן ${\displaystyle T_{A}(x,y)=(2x,y)}$. קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.
• טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה-${\displaystyle x}$ היא טרנספורמציה ליניארית.
• גזירה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).
• פונקציה ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ היא העתקה ליניארית אם ורק אם היא מהצורה ${\displaystyle f(x)=\alpha x}$ באשר ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת קו ישר במישור האוקלידי) ${\displaystyle g(x)=\alpha x+\beta }$ היא העתקה ליניארית אם ורק אם ${\displaystyle \beta =0}$. קל לראות שאחרת ${\displaystyle g}$ לא מעבירה ${\displaystyle {\vec {0}}}$ ל-${\displaystyle {\vec {0}}}$ (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש-${\displaystyle \beta \neq 0}$ ונראה ש-${\displaystyle g}$ לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): $${\displaystyle 2\alpha +\beta =g(2)=g(1+1)\neq g(1)+g(1)=(\alpha +\beta )+(\alpha +\beta )=2\alpha +2\beta }$$ פונקציה ${\displaystyle g}$ כזאת נקראת העתקה אפינית. נעיר שלהעתקות אפיניות יש חשיבות מיוחדת כשדנים בגזירת פונקציות בכמה משתנים (פונקציות דיפרנציאביליות).

• 
  הפונקציה ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ שמוגדרת על-ידי ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ היא העתקה ליניארית. פונקציה זו מותחת את רכיב ה-${\textstyle x}$ בפקטור ${\textstyle 2}$.
• 
  הפונקציה היא אדטיבית ושומרת על חיבור: ${\textstyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
• 
  הפונקציה משמרת כפל בסקלר (פונקציה הומוגנית): אפשר למתוח את הקלט ואז להפעיל את הפונקציה או להפעיל את הפונקציה ואז למתוח את הפלט. בניסוח מתמטי: ${\textstyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$

יהיו ${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle W}$ מרחבים וקטוריים מעל שדה כלשהו ${\displaystyle F}$, ו-${\displaystyle T}$ העתקה ליניארית מ-${\displaystyle V}$ ל-${\displaystyle W}$.

• נאמר ש-${\displaystyle T}$ היא הומומורפיזם (של מרחבים וקטוריים) אם ${\displaystyle T}$ היא העתקה ליניארית.
• נאמר ש-${\displaystyle T}$ היא מונומורפיזם אם ${\displaystyle T}$ חח"ע (חד חד ערכית).
• נאמר ש-${\displaystyle T}$ היא אפימורפיזם אם ${\displaystyle T}$ על.
• נאמר ש-${\displaystyle T}$ היא איזומורפיזם אם ${\displaystyle T}$ היא הפיכה.

מרחבים הם איזומורפיים אם קיימת ביניהם העתקה ליניארית הפיכה, ומתברר כי שני מרחבים וקטוריים איזומורפיים זה לזה אם ורק אם הם שווי-ממד. הממד מונוטוני תחת העתקות ליניאריות: אינו יורד תחת העתקה חח"ע, ואינו עולה תחת העתקה על. אם מתקיים שני מרחבים מממד סופי ${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle W}$ הם שווי ממד, אזי שלוש התכונות לעיל (חח"ע, על, הפיכות) שקולות זו לזו.

מכאן נובע שכל העתקה על בין מרחב ממד סופי לעצמו היא איזומורפיזם (באופן כללי אובייקט בקטגוריה שמקיים תכונה זאת נקרא הופפיאני(אנ'); כך שמרחב ממד סופי הוא הופפיאני).

באופן דומה נובע שכל העתקה חח"ע בין מרחב ממד סופי לעצמו היא איזומורפיזם (כך שמרחב ממד סופי הוא קו-הופפיאני).

אוסף כל ההעתקות הליניאריות מ-${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ל-${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד ${\displaystyle m\cdot n}$. על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות ליניאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ הן העתקות ליניאריות מ-${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ל-${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, ו-${\displaystyle \alpha }$ הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:

• ${\displaystyle (T_{1}+T_{2})(v)=T_{1}(v)+T_{2}(v)}$
• ${\displaystyle (\alpha T_{1})(v)=\alpha \cdot T_{1}(v)}$

וקטור האפס הוא טרנספורמציית האפס.

המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ למרחב וקטורי ${\displaystyle W}$ מסומן ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$. אם ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n},\ W=\mathbb {R} ^{m}}$ אז$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m\times n}=M_{m\times n}(\mathbb {R} )}$$ כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות איזומורפי למרחב המטריצות עם ${\displaystyle m}$ שורות ו-${\displaystyle n}$ עמודות.

תהי טרנספורמציה ליניארית ${\displaystyle T\colon V\to W}$.

הגרעין של ${\displaystyle T}$, המסומן ${\displaystyle \ker(T)}$ (מהמילה Kernel – גרעין), הוא קבוצת הווקטורים ב-${\displaystyle V}$ המועתקים על ידי ${\displaystyle T}$ לווקטור האפס של ${\displaystyle W}$. כלומר:${\textstyle \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}}$.

משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא מרחב וקטורי חלקי (תת-מרחב) ל-${\displaystyle V}$ – משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר. הגרעין טריוויאלי (דהיינו, שווה לתת-מרחב האפס) בדיוק כאשר ${\displaystyle T}$ חח"ע.

התמונה של ${\displaystyle T}$, המסומנת ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)}$ (מהמילה Image – תמונה), היא קבוצת איברי ${\displaystyle W}$ שקיים להם מקור ב-${\displaystyle V}$, כלומר: $${\displaystyle \ \operatorname {Im} (T)=\{w\in W\mid \exists v\in V:w=T(v)\}=\{T(v)\mid v\in V\}=T(V)}$$ גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה תת-מרחב וקטורי של ${\displaystyle W}$.

משפט הדרגה: לכל מרחב ${\displaystyle V}$ מממד סופי ולכל טרנספורמציה ליניארית ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ מתקיים:

נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח ${\displaystyle W}$, אלא רק בממד של התחום ${\displaystyle V}$, הגרעין והתמונה. נובעים מן המשפט האי-שוויונות הבאים: ${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (T))\leq \dim(W)}$ ולכן ${\displaystyle \dim(\ker(T))\geq \dim(V)-\dim(W)}$

הוכחה

יהיו ${\displaystyle \{\ v_{1},...,\ v_{n}\}}$ בסיס של ${\displaystyle \ker(T)}$ ויהיו ${\displaystyle \{\ u_{1},...,\ u_{m}\}}$ וקטורים כך ש-${\displaystyle \{\ T(u_{1}),...,\ T(u_{m})\}}$ מהווים בסיס ל-${\displaystyle \operatorname {Im} (T)}$ צ"ל: ${\displaystyle \{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}}$ מהווה בסיס ל-${\displaystyle V}$. נראה כי הקבוצה בת"ל (בלתי תלויה ליניארית): יהיו ${\displaystyle a_{1},...,\ a_{n},\ b_{1},...,\ b_{m}}$ סקלרים כך ש- ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=0_{V}}$ לכן בהכרח ${\displaystyle 0_{W}=\ T(0_{V})=\ T(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}})=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\ T(v_{i})}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}=0+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}=\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}}$ לכן, כיוון ש-${\displaystyle \{\ T(u_{1}),...,\ T(u_{m})\}}$ בת"ל, לכל ${\displaystyle j}$ מתקיים ${\displaystyle b_{j}=0}$ נציב ב-${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=0_{V}}$ ונקבל כי ${\displaystyle 0_{V}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}}$ וכיוון ש-${\displaystyle \{\ v_{1},...,\ v_{n}\}}$ בת"ל נקבל כי לכל ${\displaystyle i}$ מתקיים כי ${\displaystyle a_{i}=0}$ כלומר, רק עבור הסקלרים הטריביאליים הקומבינציה של הקבוצה ${\displaystyle \{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}}$ שווה ${\displaystyle 0_{V}}$ ולכן הקבוצה בת”ל מעל ${\displaystyle F}$. נראה כי הקבוצה פורשת: יהי ${\displaystyle {\vec {v}}\in \ V}$, מתקיים ${\displaystyle T({\vec {v}})\in \ \operatorname {Im} (T)}$ לכן, קיימים סקלרים ${\displaystyle b_{1},...,\ b_{m}}$ כך ש-${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{b_{j}T(u_{j})}=\ T({\vec {v}})}$. נעביר אגפים ונקבל כי ${\displaystyle 0_{W}=\ T({\vec {v}})-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}T(u_{j})}=\ T({\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}})}$ ולכן ${\displaystyle {\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}\in \ \ker(T)}$ לכן, קיימים סקלרים ${\displaystyle a_{1},...,\ a_{n}}$ כך ש-${\displaystyle {\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}}$ ולכן ${\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}}$ ולכן הקבוצה ${\displaystyle \{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}}$ פורשת את ${\displaystyle V}$. לכן הקבוצה ${\displaystyle \{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}}$ מהווה בסיס עבור ${\displaystyle V}$ ולכן מתקיים ${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (T))+\dim(\ker(T))=\ n+\ m=\dim(V)}$. מ.ש.ל.

יהיו ${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle W}$ מרחבים וקטורים מממד סופי מעל שדה כלשהו ${\displaystyle F}$, ו-${\displaystyle T\colon V\to W}$ העתקה ליניארית מ-${\displaystyle V}$ ל-${\displaystyle W}$. נקבע ${\displaystyle B=\{v_{1},...,v_{n}\}}$ בסיס של ${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle C=\{w_{1},...,w_{m}\}}$ בסיס של ${\displaystyle W}$. לכל וקטור ב-${\displaystyle V}$ ניתן להתאים את וקטור הקואורדינטות שלו לפי הבסיס ${\displaystyle B}$, ‏${\displaystyle V\ni v\mapsto [v]_{B}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ובאופן דומה ${\displaystyle W\ni w\mapsto [w]_{C}\in \mathbb {R} ^{m}}$.

נגדיר את המטריצה המייצגת של ${\displaystyle T}$ ביחס לבסיסים ${\displaystyle B}$ ו-${\displaystyle C}$, שתסומן ${\displaystyle {[T]_{C}^{B}}\in F^{m\times n}}$ כמטריצה שמקיימת את הקשר הבא: $${\displaystyle \forall v\in V:\ \ [T(v)]_{C}=[T]_{C}^{B}[v]_{B}}$$ ניתן לחשב אותה במפורש על ידי הנוסחה ${\displaystyle \left({[T]_{C}^{B}}\right)_{ij}:=([T(v_{j})]_{C})_{i}}$ אך בפועל ישנן דרכים פשוטות יותר לחשב אותה.

• נסמן ב-${\displaystyle B'}$ בסיס נוסף של ${\displaystyle V}$ וב-${\displaystyle C'}$ בסיס נוסף של ${\displaystyle W}$. נסמן ב-${\displaystyle M_{B'}^{B}}$את מטריצת המעבר מבסיס ${\displaystyle B}$ לבסיס ${\displaystyle B'}$ וב-${\displaystyle M_{C'}^{C}}$ את מטריצת המעבר מבסיס ${\displaystyle C}$ לבסיס ${\displaystyle C'}$. אזי ${\displaystyle [T]_{C'}^{B'}=M_{C'}^{C}[T]_{C}^{B}M_{B}^{B'}}$ כאשר ${\displaystyle M_{B}^{B'}=\left(M_{B'}^{B}\right)^{-1}}$.
• יהי ${\displaystyle U}$ מרחב וקטורי נוסף מעל ${\displaystyle F}$ עם בסיס ${\displaystyle D}$ ותהי ${\displaystyle S:W\rightarrow U}$ העתקה ליניארית נוספת. אזי ${\displaystyle [S\circ T]_{D}^{B}=[S]_{D}^{C}[T]_{C}^{B}}$

יהיו ${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle W}$ מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו ${\displaystyle F}$, ו-${\displaystyle T}$ העתקה ליניארית מ-${\displaystyle V}$ ל-${\displaystyle W}$.

נתבונן במרחבים הדואליים ${\displaystyle V^{*}}$ ו-${\displaystyle W^{*}}$ ונגדיר את ההעתקה הדואלית ${\displaystyle T^{*}:W^{*}\to V^{*}}$ על ידי:

${\displaystyle (T^{*}(\varphi ))(v):=\varphi (T(v))}$

כאשר ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ו-${\displaystyle v\in V}$. עבור תת-מרחב ${\displaystyle V_{0}\leq V}$ נסמן: ${\displaystyle V_{0}^{\circ }=\{\varphi \in V^{*}|\varphi (V_{0})=0\}}$.

• ${\displaystyle T^{*}}$ היא העתקה ליניארית ומוגדרת היטב.
• ${\displaystyle {\text{Ker}}(T^{*})=({\text{Im}}\ T)^{\circ }}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Im} (T^{*})=({\text{Ker}}\ T)^{\circ }}$.
• ${\displaystyle T}$ חח"ע אם ורק אם ${\displaystyle T^{*}}$ על.
• ${\displaystyle T^{*}}$ חח"ע אם ורק אם ${\displaystyle T}$ על.
• יהי ${\displaystyle B}$ בסיס ל-${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle C}$ בסיס ל-${\displaystyle W}$. נסמן ב-${\displaystyle B^{*}}$ וב-${\displaystyle C^{*}}$ בסיסים דואליים ל-${\displaystyle B}$ ו-${\displaystyle C}$ בהתאמה. אזי: ${\displaystyle {[T^{*}]_{B^{*}}^{C^{*}}}=({[T^{*}]_{C}^{B}})^{t}}$.
• נסמן ב-${\displaystyle C_{V}}$ וב-${\displaystyle C_{W}}$ את האיזומורפיזמים הקנוניים של ${\displaystyle V}$ ו-${\displaystyle W}$ בהתאמה. נגדיר: ${\displaystyle T^{**}:=(T^{*})^{*}}$. אז מתקיים: ${\displaystyle T^{**}\circ C_{V}=C_{W}\circ T}$.

מדיה וקבצים בנושא העתקה ליניארית בוויקישיתוף

• העתקה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)
• אופרטורים ליניאריים, דף שער בספרייה הלאומית