Media (estatística)

Existen numerosos exemplos de medias ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}=m_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ . Unha das poucas propiedades compartidas por todas as medias é que calquera media está comprendida entre o valor máximo e o valor mínimo do conxunto de variables:

${\displaystyle \min\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}\leq {\bar {x}}\leq \max\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}}$ 

Ademais debe cumprirse que:

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1},\quad {\mbox{si}}\ x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}}$ 

A media aritmética é unha media estándar que a miúdo se denomina simplemente "media".^[1]

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}$ 

A media confúndese ás veces coa mediana ou a moda. A media aritmética é a media dun conxunto de valores, ou a súa distribución; con todo, para as distribucións con nesgo, a media non é necesariamente o mesmo valor que a mediana ou que a moda. A media, moda e mediana son parámetros característicos dunha distribución de probabilidade. É ás veces unha forma de medir o nesgo dunha distribución tal e como se pode facer nas distribucións exponencial e de Poisson.

Por exemplo, a media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é ${\displaystyle {\tfrac {34+27+45+55+22+34}{6}}\ ={\tfrac {217}{6}}\approx 36,167}$ 

Ás veces pode ser útil outorgar pesos ou valores aos datos dependendo da súa relevancia para determinado estudo. Neses casos pódese utilizar unha media ponderada. Se ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$  é un conxunto de datos ou media muestral e ${\displaystyle w_{1},w_{2},...,w_{n}}$  son números reais positivos, chamados "pesos" ou factores de ponderación, defínese a media ponderada relativa a eses pesos como:

${\displaystyle {\bar {X}}_{w}={\frac {X_{1}\cdot w_{1}+X_{2}\cdot w_{2}+...+X_{n}\cdot w_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}\cdot w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$ 

A media é invariante fronte a transformacións lineares, cambio de orixe e escala, das variables, é dicir se X é unha variable aleatoria e Y é outra variable aleatoria que depende linearmente de X, é dicir, Y = a·X + b (onde a representa a magnitude do cambio de escala e b a do cambio de orixe) tense que:

${\displaystyle {\bar {Y}}=a{\bar {X}}+b}$ 

A media xeométrica é unha media moi útil en conxuntos de números que son interpretados en orde do seu produto, non da súa suma (tal e como ocorre coa media aritmética). Por exemplo, as velocidades de crecemento.

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{1/n}}$ 

Por exemplo, a media xeométrica da serie de números 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é ${\displaystyle (34\cdot 27\cdot 45\cdot 55\cdot 22\cdot 34)^{1/6}=1699493400^{1/6}\approx 34,545}$ 

A media harmónica é unha media moi útil en conxuntos de números que se definen en relación con algunha unidade, por exemplo a velocidade (distancia por unidade de tempo).

${\displaystyle {\bar {x}}=n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$ 

Por exemplo, a media harmónica dos números: 34, 27, 45, 55, 22, e 34 é ${\displaystyle {\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}\approx 33,018}$ 

Existen diversas xeneralizacións das medias anteriores.

As medias xeneralizadas, tamén coñecidas como medias de Hölder, son unha abstracción das medias cuadráticas, aritméticas, xeométricas e harmónicas. Defínense e agrúpanse a través da seguinte expresión:

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{1/m}}$ 

Escollendo un valor apropiado do parámetro m, tense:

• ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$  - máximo,
• ${\displaystyle m=2\,}$  - media cuadrática,
• ${\displaystyle m=1\,}$  - media aritmética,
• ${\displaystyle m\rightarrow 0}$  - media xeométrica,
• ${\displaystyle m=-1\,}$  - media harmónica,
• ${\displaystyle m\rightarrow -\infty }$  - mínimo.

Esta media pode xeneralizarse para unha función monótona como a media-f xeneralizada:

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$ 

onde ${\displaystyle f:I\to I}$  é unha función inxectiva e ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$  un intervalo. Escollendo formas particulares para ${\displaystyle f}$  obtéñense algunhas das medias máis coñecidas:

• ${\displaystyle f(x)=x\,}$  - media aritmética, ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ 
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$  - media harmónica, ${\displaystyle I=(0,\infty )}$ 
• ${\displaystyle f(x)=x^{m}\,}$  - media xeneralizada, ${\displaystyle I=(0,\infty )}$ 
• ${\displaystyle f(x)=\ln x\,}$  - media xeométrica, ${\displaystyle I=(0,\infty )}$ .

Para unha función continua ${\displaystyle f}$  sobre un intervalo [a,b], pódese calcular o valor medio da función ${\displaystyle f}$  sobre [a,b] como:

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(t)dt}$ 

De feito a definición anterior cúmprese tamén para unha función limitada aínda que non sexa continua, coa condición de que sexa medible.

A media estatística emprégase en estatística para dous conceptos diferentes aínda que numericamente similares:

• A media da mostra, que é un estatístico que se calcula a partir da media aritmética dun conxunto de valores dunha variable aleatoria.
• A media da poboación, valor esperado ou esperanza matemática dunha variable aleatoria.

Na práctica dada unha mostra estatística suficientemente grande o valor da media muestral da mesma é numericamente moi próximo á esperanza matemática da variable aleatoria medida nesa mostra. O devandito valor esperado, só é calculable se se coñece con toda exactitude a distribución de probabilidade, cousa que raramente sucede na realidade, e por esa razón, a efectos prácticos a chamada media refírese normalmente á media da mostra.

A media da mostra é unha variable aleatoria, xa que depende da mostra, aínda que é unha variable aleatoria en xeral cunha varianza menor que as variables orixinarias empregadas no seu cálculo. Se a mostra é grande e está ben escollida, pode tratarse a media da mostra como un valor numérico que aproxima con precisión a media de poboación, que caracteriza unha propiedade obxectiva da poboación. Defínese como segue: se se ten unha mostra estatística de valores ${\displaystyle (X_{1},X_{2},...,X_{n})}$  de valores para unha variable aleatoria X con distribución de probabilidade F(x, θ) [onde θ é un conxunto de parámetros da distribución] defínese a media da mostra n-ésima como:

${\displaystyle {\bar {X}}_{n}=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}$ 

A media da poboación tecnicamente non é unha media senón un parámetro fixo que coincide coa esperanza matemática dunha variable aleatoria. O nome "media da poboación" emprégase para indicar que valor numérico dunha media muestral é numericamente próximo ao parámetro media da poboación, para unha mostra adecuada e suficientemente grande.

• Media cuadrática
• Media aritmética xeométrica
• Media heroniana
• Media (matemáticas)