Distribución de Poisson

A función de masa ou probabilidade de Poisson é

${\displaystyle F(k,\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$ 

onde

• k é o número de veces que ocorre o fenómeno.
• λ é un parámetro positivo que representa o número de veces que se espera que suceda o fenómeno durante un intervalo dado. Por exemplo, se o suceso ten lugar unha media de catro veces por minuto e estamos interesados na probabilidade de que ocorra k veces nun intervalo de 10 minutos, empregaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
• e é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828...)

Tanto o valor esperado como a varianza dunha variable aletoria con distribución de Poisson son iguais a λ. Os momentos de orde superior son polinomios de Touchard en λ con coeficientes que teñen unha interpretación combinatoria. De feito, cando o valor esperado da distribución de Poisson é 1, entón segundo a fórmula de Dobinski, o n-ésimo momento é igual ao número de particións de tamaño n.

A moda dunha variable aleatoria de distribución de Poisson con λ non enteiro é igual a ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor }$ , o maior dos enteiros menores que λ (os símbolos ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \ \rfloor }$  representan a función parte enteira). Cando λ é un enteiro positivo, as modas son λ e λ − 1.

A función xeradora de momentos da distribución de Poisson con valor esperado λ é

${\displaystyle \mathrm {E} \left(e^{tX}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}f(k;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}{\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}=e^{\lambda (e^{t}-1)}.}$ 

As variables aleatorias de Poisson teñen a propiedade de ser infinitamente divisibles.

A diverxencia de Kullback-Leibler dende unha variable aleatoria de Poisson de parámetro λ₀ a outra de parámetro λ é

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\lambda ||\lambda _{0})=\lambda \left(1-{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\log {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\right).}$ 

Un criterio fácil e rápido para calcular un intervalo de confianza aproximado de λ foi proposto por Guerriero en 2012.^[2] Dada unha serie de sucesos k (polo menos 15 ou 20) nun período de tempo T, os límites do intervalo de confianza para a frecuencia veñen dados por:

${\displaystyle F_{low}=\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}}$ 

${\displaystyle F_{upp}=\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}}$ 

entón os límites do parámetro ${\displaystyle \lambda }$  están dados por:${\displaystyle \lambda _{low}=F_{low}T;\lambda _{upp}=F_{upp}T}$ .

A suma de variables aleatorias de Poisson independentes é outra variable aleatoria de Poisson que ten como parámetro a suma dos parámetros das orixinais: se

${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Poi} (\lambda _{i})\,,i=1,\dots ,N}$ 

son N variables aleatorias de Poisson independentes, entón

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poi} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,}$ .

A distribución de Poisson é o caso límite da distribución binomial. De feito, se os parámetros n e ${\displaystyle \theta }$  dunha distribución binomial tenden a infinito (no caso de 'n') e a cero (no caso de ${\displaystyle \theta }$ ) de xeito que ${\displaystyle \!\lambda =n\theta }$  se manteña constante, a distribución límite obtida é de Poisson.

Como consecuencia do teorema central do límite, para valores grandes de ${\displaystyle \lambda }$ , unha variable aleatoria de Poisson X pode aproximarse por outra normal dado que o cociente

${\displaystyle Y={\frac {X-\lambda }{\sqrt {\lambda }}}}$ 

converxe a unha distribución normal de media nula e varianza 1.

Se para cada valor t > 0, que representa o tempo, o número de sucesos de certo fenómeno aleatorio segue unha distribución de Poisson de parámetro λt, entón os tempos transcorridos entre dous sucesos sucesivos segue a distribución exponencial.

Se o 2% dos libros encadernados en certo taller ten encadernación defectuosa, para obter a probabilidade de que 5 de 400 libros encadernados neste taller teñan encadernacións defectuosas emprégase a distribución de Poisson. Neste caso concreto, k é 5 e, λ, o valor esperado de libros defectuosos é o 2% de 400, é dicir, 8. Polo tanto, a probabilidade buscada é

${\displaystyle \!P(5;8)={\frac {8^{5}e^{-8}}{5!}}=0,092.}$ 

A distribución de Poisson aplícase a diversos fenómenos discretos da natureza (aqueles fenómenos que ocorren 0, 1, 2, 3... veces durante un período definido de tempo ou nunha área determinada) cando a probabilidade de que ocorra o fenómeno é constante no tempo ou no espazo. Exemplos destes sucesos que poden ser analizados pola distribución de Poisson inclúen:

• O número de vehículos que pasan a través dun certo punto nunha ruta durante un período definido de tempo.
• O número de erros ortográficos que un comete ao escribir unha única páxina.
• O número de chamadas nunha central telefónica por minuto.
• O número servidores web accedidos por minuto.
• O número de mutacións dunha cadea de ADN determinada despois de certa cantidade de radiación.
• O número de núcleos atómicos inestables que se desintegraron nun determinado período.
• O número de estrelas nun volume do espazo.
• A distribución de receptores visuais na retina do ollo humano.
• As creacións dun inventor durante a súa carreira.^[3]
• A distribución da riqueza humana.

• Proceso de Poisson
• Regresión de Poisson

• Distribución de Poisson Puntual
• Distribución de Poisson Acumulada
• Calculadora da distribución de Poisson
• Cálculo da probabilidade dunha distribución de Poisson usando R