Cadrado máxico

Considerémo-la sucesión aritmética 1, 2, 3, 4 ... 36 (cadrado de orde 6), e dispoñámo-los números ordenadamente en dúas series dispostas en zigzag:

Resulta evidente que calquera par de números aliñados verticalmente suma o mesmo xa que a medida que nos desprazamos polas columnas, na ringleira superior engádese unha unidade, mentres que na ringleira inferior réstase. A suma é en tódolos casos a dos números extremos:

${\displaystyle n^{2}+1=36+1=37}$ 

Se dispoñémo-lo conxunto de números en seis ringleiras (ver táboa á dereita):

Como doadamente se pode apreciar, as sumas nas distintas columnas han ser necesariamente iguais, xa que os números se atopan agrupados por pares tal e coma estaban no primeiro caso (compárese os pares de ringleiras 1ª-6ª, 2ª-5ª e 3ª-4ª coa disposición orixinal). Ora ben, por ser tres os pares de ringleiras (n/2), a suma será:

${\displaystyle M_{2}(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}$ 

cantidade que se denomina constante máxica, e que neste caso é n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Salta á vista que o cadro anterior non é un cadrado máxico, xa que ó se dispoñe-los números de xeito consecutivo, as sumas das cifras de cada ringleira son cada vez maiores. Porén atopamos seis series de números comprendidos entre 1 e 36, de xeito que, sen se repetir ningún, as sumas das series son a constante máxica. Se en vez da disposición anterior situámo-los números consecutivamente, obtemos unha disposición na que os números da diagonal principal se poden escribir da forma (a-1)×n + a.

Calculando a suma, sabendo que as ringleiras a van de 1 a n:

${\displaystyle \sum _{a=1}^{n}(a-1){n}+a=(n+1)\sum _{a=1}^{n}a-\sum _{a=1}^{n}n=(n+1){\frac {n(1+n)}{2}}-n^{2}={\frac {n^{3}+2n^{2}+n-2n^{2}}{2}}={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}$ 

De novo a constante máxica. Máis aínda, calquera serie de seis valores nos que non haxa dous da mesma ringleira ou columna sumará a constante máxica. Escribindo o termo i, j da matriz coma (i-1)×n + j, e tomando 6 termos calquera coa condición de que nin i, nin j se repitan e varíen de 1 ata n, a ecuación resultante será exactamente a mesma que no caso anterior e a suma, polo tanto, a constante máxica.

Como se pode demostrar, a cantidade de series posibles de n números que cumpran a condición anterior é n!, 720 en cadrados de orde 6, e nin sequera son tódalas posibles, xa que antes obtiveramos seis que non están incluídas entre elas. En definitiva, sendo posible construír (n²)! matrices nas que ningún termo se repita e existindo polo menos n! (en realidade moitas máis) combinacións de números que sumen a constante máxica, compréndese intuitivamente que o que sería de maxia é que con tal multitude de posibilidades fose imposible construír cadrados máxicos.

De orde 3 existe un único cadrado máxico (as distintas variacións pódense obter por rotación ou reflexión), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableceu que hai 880 cadrados máxicos de orde 4 [1], posteriormente atopáronse 275 305 224 cadrados máxicos de orde 5; o número de cadrados de maior orde descoñécese aínda pero segundo estimacións de Klaus Pinn e C. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante os métodos de Monte Carlo e de mecánica estatística existen (1,7745 ± 0,0016) × 10¹⁹ cadrados de orde 6 e (3,7982 ± 0,0004) × 10³⁴ cadrados de orde 7.

Polo que respecta a ordes inferiores, é evidente que de orde un existe un único cadrado máxico,   1  , mentres que de orde 2 non existe ningún, o que se pode demostrar considerando o cadrado máxico a, b, c, d da figura; para que tal disposición fose un cadrado máxico deberíanse cumpri-las seguintes ecuacións (sendo M a constante máxica ou calquera cantidade, se se quere):

escribindo o sistema de ecuacións lineais en forma matricial e buscando a orde da matriz de coeficientes, obtense que é tres, mentres que o número de incógnitas é catro, de xeito que o sistema só ten a solución trivial a =b=c=d= M/2 sendo imposible construír un cadrado máxico no que as catro cifras sexan distintas.

 

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).
Compilado por Bao Yunlong no século XIII,
edición da Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca do Congreso dos EE.UU.

Na antiga China xa se coñecían os cadrados máxicos dende o III milenio a.C, como testemuña o Lo Shu. Segundo a lenda, un certo día produciuse o desbordamento dun río; a xente, temerosa, tentou facer unha ofrenda ó deus do río Lo (un dos desbordados) para amansa-la súa ira. Non obstante, cada vez que o facían, aparecía unha tartaruga que roldaba a ofrenda sen aceptala, ata que un rapaz se decatou das peculiares marcas da cuncha da tartaruga, deste xeito puideron incluír na súa ofrenda a cantidade pedida (15), quedando o deus satisfeito e volvendo as augas á súa canle.

Igualmente coñeceron combinacións desta clase os indios, exipcios, árabes e gregos. A tales cadrados, as diferentes culturas atribuíronlles propiedades astrolóxicas e divinatorias portentosas gravándose con frecuencia en talismáns. Así, como recolle Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), o cadrado de orde 3 (15) estaba consagrado a Saturno, o de 4 (34) a Xúpiter, o de 5 (65) a Marte, o de 6 (111) ó Sol, o de 7 (175) a Venus, o de 8 (260) a Mercurio e o de 9 (369) á Lúa; idéntica atribución pódese atopar na astroloxía hindú.

A introdución dos cadrados máxicos en occidente atribúese a Emanuel Moschopoulos en torno ó século XIV, autor dun manuscrito no que se explican por vez primeira algúns métodos para construílos. Con posterioridade, o estudo das súas propiedades, xa con carácter científico, atraeu a atención de grandes matemáticos que dedicaron ó asunto obras diversas malia a manifesta inutilidade práctica dos cadrados máxicos. Entre eles cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler, ... diríase que ningún matemático ilustre puido escapar do seu feitizo.

 

O cadrado máxico de Durero, tallado na súa obra Melancolía está considerado o primeiro das artes europeas. No cadrado de orde catro obtense a constante máxica (34) en ringleiras, columnas, diagonais principais, e nas catro submatrices de orde 2 nas que se pode dividi-lo cadrado, sumando os números das esquinas, os catro números centrais, os dous números centrais das ringleiras (ou columnas) primeira e última etc. e sendo as dúas cifras centrais da última ringleira 1514 o ano de execución da obra.

Algunhas disposicións particulares no cadrado máxico de Durero que suman a constante máxica.

 

A Fachada da Paixón da igrexa da Sagrada Familia en Barcelona, deseñada polo escultor Josep Subirachs, amosa un cadrado máxico de orde 4.

A constante máxica do cadrado é 33, a idade de Xesucristo na Paixón. Tamén se atribuíu a escolla deste número coma unha velada alusión á suposta adscrición masónica, que nunca foi demostrada, de Antonio Gaudí, xa que 33 son os graus tradicionais da masonería. Estruturalmente, é moi similar ó cadrado máxico de Melancolía, pero dous dos números do cadrado (o 12 e o 16) están diminuídos en dúas unidades (10 e 14) polo que aparecen repeticións. Isto permite rebaixa-la constante máxica en 1.

Hai numerosos xeitos de construír cadrados máxicos, pero as máis sinxelas consisten en seguir certas configuracións ou fórmulas que xeran patróns regulares. Ademais pódense impor condicións adicionais ó cadrado, obténdose cadrados bimáxicos, trimáxicos etc. Analogamente pódense construír círculos, polígonos e cubos máxicos.

Non existe un método xeral para construír cadrados máxicos de calquera orde, sendo necesario distinguir entre os de orde impar, os de orde múltiplo de 4 e o resto de orde par (4×m + 2).

Estes cadrados pódense xerar segundo o método publicado en 1691 por Simon de la Loubere, chamado ás veces método siamés, país no que desempeñou o cargo de embaixador de Lois XIV, método xa coñecido polos astrólogos orientais. Comezando na cela central da primeira ringleira co primeiro número, cóbrese a diagonal crebada cos seguintes en sentido NO (ou NE). Completada a primeira diagonal descéndese unha posición e cóbrese a segunda no mesmo sentido que a anterior, repetíndose o paso anterior co resto de diagonais ata completa-lo cadrado.

 

Obviamente, poderíase comezar en calquera das celas centrais das ringleiras ou columnas do contorno, sendo en cada caso a dirección das diagonais cara a fóra do cadrado e o sentido do desprazamento unha vez finalizada cada diagonal o dado pola posición relativa do centro do cadrado respecto da cela inicial.

Resulta evidente que comezando por calquera outra cela as sumas das ringleiras e columnas será a constante máxica, xa que a posición relativa das cifras será a mesma que no caso anterior; non obstante, na diagonal paralela á dirección de cubrido non se cumprirá esta condición (si na outra). De feito, a particular elección da cela inicial responde á necesidade de que na diagonal paralela á dirección de cubrido se sitúen consecutivamente os cinco números centrais da serie xa que calquera dos outros cinco números consecutivos non sumarán a constante máxica.

Paso 1: Escríbense os números do 1 ó n². Escríbese o 1 na cela superior do rombo e seguirase de forma oblicua como se ve neste exemplo. O cadrado máxico será un cadrado inscrito no rombo que formamos.

Paso 2: Trasladámo-los números das esquinas do rombo ás celas baleiras que hai no lado oposto do cadrado.

Paso 3: Quitámo-las esquinas do rombo: xa temos un cadrado máxico de orde impar.

Constrúese un cadrado cos números dispostos consecutivamente (véxase o segundo cadrado de orde seis da introdución), disposición na que como sabemos, as sumas das diagonais son a constante máxica. Unha vez feito isto, e conservando a submatriz central de orde n/2 e as catro submatrices de esquina de orde n/4 os números restantes xíranse 180º respecto do centro do cadrado, ou se se prefire vólvense situar en orde decrecente (en ámbolos dous casos o resultado é o mesmo).

 

Partindo da mesma disposición e escollendo patróns simétricos similares das cifras a conservar pódense construír cadrados máxicos diferentes ó obtido antes, coma o seguinte:

 

Para construír esta clase de cadrados pódese usa-lo método LUX. En parte, baséase no método da Loubere, que se usa na construción de cadrados máxicos de orde impar (véxase máis enriba).

Coma exemplo, imos construír un cadrado máxico de lado 10.

1º paso:

Imos agrupa-las celas en subcadrados de 2x2, e cada un deles etiquetarémolo do seguinte xeito:

- Os cadrados das k+1 primeiras ringleiras, onde k é a división enteira do tamaño do cadrado entre catro, etiquétanse coa letra L (3 ringleiras neste caso).

- Os cadrados da seguinte ringleira etiquétanse coa letra U.

- Os cadrados das ringleiras restantes etiquétanse coa letra X.

Estas letras indicarannos máis adiante como cubrir cada subcadrado de 2x2.

2º paso:

Intercámbiase o cadrado U central co cadrado L inmediatamente superior.

3º paso:

Etiquetaremos cada subcadrado de 2x2 cun número seguindo o método da Loubere. Deste xeito indicarémo-la orde na que se vai cubrir cada subcadrado.

4º paso:

Agora, ó subcadrado i-ésimo correspóndelle os números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 e 4i. Por exemplo, ó subcadrado 10 correspóndelle os números 37, 38, 39, e 40.

Só nos falta saber onde se sitúan os catro números dentro do seu subcadrado correspondente, e aí entra en xogo o etiquetado LUX.

Como se pode ver, as letras lembran á forma que fan os números ó se situar en cada cadrado.

Con todos estes elementos xa se pode construí-lo cadrado:

Existen multitude de variantes dos cadrados máxicos simples que se acaban de describir, así coma métodos alternativos de construción dos mesmos. Agora verase unha descrición dalgunhas das variantes existentes.

Hai, por exemplo, cadrados máxicos que continúan sendo máxicos cando se lles quita unha banda exterior; incluso hainos que continúan sendo máxicos se se lles quita unha banda e logo unha segunda banda, ...

O cadrado completo da figura, de orde 7, ten por constante máxica 175 (os corenta nove primeiros números); o cadrado interior de orde 5 que comprende os números centrais da serie anterior (13 a 37), tamén é máxico e ten por constante máxica 125, ó igual có cadrado de orde tres central (números 21 a 29) que ten unha constante máxica de 75.

Algúns cadrados conservan a suma máxica ó longo de tódalas diagonais crebadas, ademais de ringleiras, columnas e diagonais principais, coma o da dereita. Estas disposicións adóitanse denominar cadrados demoníacos ou cadrados diabólicos, aínda que tamén se chama ás veces así ó cadrado de Durero que non cumpre esta condición. Este último tamén é chamado ás veces cadrado satánico porque existen moitas combinacións, certamente peculiares, de números simetricamente distribuídos ó longo da matriz cos que se consegue a suma máxica, como xa se amosou con anterioridade cando se falou del. Ó respecto cabe lembrar que o número de combinacións de n cifras, tomadas da serie aritmética 1 a n×n, é incluso superior ó de cadrados que se poden construír con ditas cifras, polo que atopar disposicións aparentemente peculiares tales que se obteña a suma máxica é máis común do que se cre. Se nos fixamos por exemplo no cadrado diabólico da figura, veremos que tales disposicións tamén suman 34 (as catro esquinas e as catro centrais, as catro submatrices de orde catro etc., e ademais as diagonais crebadas, claro que nel non aparece a data de creación de Melancolía coma acontecía no cadrado de Durero, no que existen máis de 34 combinacións).

Se entendémo-los cadrados máxicos coma matrices, coas súas operacións usuais de suma e produto, o cadrado máxico de orde 3 ten a interesante propiedade de que a súa matriz inversa volve ser un cadrado máxico que ten valores fraccionarios positivos e negativos e que a súa constante máxica é 1/15.

Este é o cadrado máxico de orde 3 habitual...

...e este é o seu cadrado máxico inverso.

Os cadrados p-máxicos son aqueles tales que elevadas tódalas cifras do cadrado á k potencia, sendo 1≤k≤p, seguen sendo máxicos:

• O cadrado bimáxico menor coñecido é o de orde 8 amosado máis adiante e que ten por constantes máxicas 260 (k=1) e 11180 (k=2). Conxectúrase que non existen cadrados bimáxicos de orde inferior, aínda que non existe proba concluínte disto. En 1998, J. R. Hendricks demostrou que é imposible construír cadrados bimáxicos de orde 3, agás o que contén 9 cifras iguais, que de máxico ten ben pouco.
• Construíronse cadrados trimáxicos de ordes 12, 32, 64, 81 e 128; o único de orde 12 foi construído polo matemático alemán Walter Trump en xuño de 2002.
• O primeiro cadrado tetramáxico, de orde 512, obtivérono André Viricel e Christian Boyer en maio de 2001; un mes máis tarde presentaron o primeiro cadrado pentamáxico, de orde 1024. Xa en 2003, presentaron un cadrado tetramáxico de orde 256 e o matemático chinés Li Wen un pentamáxico de orde 729.

Pódense construír cadrados máxicos con números extraídos de calquera sucesión aritmética independentemente do número inicial e da razón da serie. Sendo a₀ primeiro termo e r a razón, doadamente demóstrase que a constante máxica será neste caso:

${\displaystyle M_{2}(n)={\frac {n[2a_{0}+(n^{2}-1)r]}{2}}}$ 

Analogamente, pódense construír cadrados máxicos a partir de sucesións xeométricas, que neste caso serán os produtos os que dean por resultado a constante máxica. Estes pódense construír coas regras dadas para os cadrados aritméticos, sen máis ca substituí-lo termo da serie xeométrica na posición indicada pola correspondente da serie aritmética:

A constante máxica é no caso xeral

${\displaystyle {M_{2}}^{*}(n)=({a_{0}}^{2}{r^{(n^{2}-1)}})^{\frac {n}{2}}}$ 

Que ten unha similitude coa xa obtida para as series aritméticas é palpable.

Tamén se construíron cadrados máxicos con series de números primos consecutivos, ou coas cifras decimais dos recíprocos da serie aritmética dos números naturais etc.

Por último sinalarémo-la existencia de disposicións máxicas n-dimensionais; así, coa serie 1 - n³ pódense construír cubos máxicos, e en xeral, coa serie 1 - n^r cadrados máxicos r-dimensionais de orde n, coas súas respectivas variantes multimáxicas das cales a súa visualización non é inmediata, aínda que pódense tratar comodamente mediante o emprego de ordenadores.

Nota: para apreza-las comparacións, para os cadrados máxicos esotéricos, tomáronse outras cores, diferentes ás empregados ata aquí.

Un cadrado máxico esotérico, usa criterios máis restritivos en canto a condicionantes para ser tido por un cadrado máxico, tanto é así, que só existe un por cada n. Deseguido detállanse os condicionantes.

En sentido esotérico, só se considera cadrado máxico, a aqueles que teñen as mesmas cifras que o número de celas (que seguen a serie de números naturais dende 1 ata n²). O cadrado da figura (cor laranxa, á esquerda) non é un cadrado máxico esotérico. Neste caso é o resultado dun cadrado máxico de n=3 e que ás súas cifras se lle sumou 20, comparar co orixinal (cor laranxa á dereita)de n=3, vendo a situación das cifras e a súa concordancia.

• En sentido esotérico, un cadrado máxico, debe reunir unhas condicións de suma das súas esquinas (que chamamos Cifra máxica-2, ou de segundo orde). Explicación de como se acha:

• Se chamamos Composición ó sumatorio dos números que compoñen o cadrado máxico: C= sum (1+2+3....), ou tamén C= ((n²+1)×(n²/2) ...

• ...e se chamamos Número base (Nb) á Composición dividida entre o número de celas que compoñen o cadrado, teremos que Nb= C / (n²).

• Tamén obtémo-la Cifra máxica, ó multiplica-lo Número base por n Cm=Nb×n (ou á inversa, obtemos Nb, ó dividi-la Cifra máxica entre n Nb= Cm/n ).

E sendo Cifra máxica-2 a suma das esquinas daquela: Cm2= r+s+t+u

Daquela Cm2 , a suma das esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))

Ou tamén (partindo de que Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).

Ou reducindo : Cm2= 4Cm / n.

Sinálanse nos debuxos as celas de esquina, para cadrados de n=4 e n=3

• Dedúcese que se o cadrado ten menos esquinas de 4, daquela dita cifra é sumada, que se é maior de 4 esquinas, a cifra é restada. Para o caso de 4 esquinas exactas, nin se suma nin se resta, ou ben súmase e réstase (como prefira ser considerado).

• Podemos comprobar que no cadrado máxico de 4 a suma das 4 esquinas Cm2 =Cm (Cifra máxica2= Cifra máxica).

Tamén a suma das cifras das 4 celas que forman unha cruz (as que están no medio entre dúas esquinas adxacentes), suman Cm2. A particularidade de n=par_impar produce dous casos.

• Para o caso de n=impar: Cm2= C +R +U +Z (debuxo da esquerda)

• E para o caso de n=par as dúas celas adxacentes que forman a cruz nas mesmas condicións, só que neste caso ó ser dous grupos de 4 celas, é dúas veces CM ; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +Z1 +Z2 )/2 (debuxo da dereita)

Amósanse un cadrado de n=3 para exemplo de caso par, e un de n=6 para exemplo de caso impar. Obsérvese que do caso impar, tómanse as dúas celas centrais de CRUZ, razón, pola que hai que dividir logo entre dous.

• Remarcouse na táboa o exemplo amosado sobre o cadrado máxico co caso de n= 7 : ó aplicar C=1225 ; Nb=25 ; Cm= 25×7=175 ; Cm2= 175- (25(7-4)=100

• Pódese comprobar Cm2=R+S+T+U , (as esquinas, en amarelo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100

• Igualmente pódese comprobar Cm2=C+R+U+Z ,(os centros en cruz, en escuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

.

• Pódese entender que o cadrado de 1, non ten 4 esquinas, e non obstante a súa cifra máxica-2, é 4, ó non poder sumar máis ca 1, queda fóra de ser un cadrado máxico esotérico.
• O cadrado de dous, si ten 4 esquinas, pero a súa cifra máxica-2 dá un resultado de 10, o cal é imposible que resulte. Explícase máis enriba neste artigo, o porqué un cadrado máxico de n=2, non o é (Cm non resulta), e aquí ademais porque non é esotérico.

Pola que se considera a un cadrado máxico esotérico que está ordenado cando se cumpren ademais outras condicións que son lixeiramente distintas nos cadrados de n-par sobre os de n-impar (o mesmo cadrado rotado ou reflectido, deixa de ser ordenado aínda que non deixa de ser esotérico).

1. n-impar: Nb ocupa a cela central. A cifra maior está enriba da cela central e a inferior embaixo. A esquina r está ocupada pola cifra Nb-(n/2-(1/2)) e a oposta u pola cifra Nb+(n/2-(1/2)). A esquina s está ocupada pola cifra n/2+(1/2) e a cela oposta t, por 2×Nb- (a cifra de s), ou o que é igual, pola cifra maior do cadrado máxico, - (n/2-(1/2)).
2. n-par : A cela r (a 1ª), é ocupada pola cifra n, a cifra 1 ocupa a cela s, e a última cifra, a diagonal t , e a cela u=t+s-r. Ó ser par, non existe cela central, e polo mesmo Nb, non é enteiro, e non ocupa cela.

• Primeira alusión á Cábala: Hai equivalencias entre as cifras dos cadrados máxicos esotéricos e as letras do alfabeto hebreo, considerado polos cabalistas, de xeito que só cando se aplica ó cadrado axeitado, pódese tomar correctamente o resultado cabalístico, sendo inexacto as conclusións se se toma o cadrado máxico trabucado.

As regras particulares, así coma esta xeral, foi descoñecida por moitos que ó longo dos tempos trataron de desentraña-los seus misterios ou de desenmascara-las súas mentiras, é por isto que os estudos daqueles que ignoraron tales cuestións carecen de validez, pois a palabra tomaba o número de acordo ás regras deste para interpreta-la palabra, e non a palabra se convertía en número para interpreta-la palabra, como tales pretendían. Así como as palabras tiñan as súas regras, tamén as tiñan os números, e era así como se convertía en sagrada a súa interpretación, pois non abondaba con coñece-los números se non se coñecían as súas regras, igual que non abondaba para comprender un idioma, aínda que se coñezan as súas letras, se se descoñecen as súas regras....

• Segunda alusión á Cábala: É de sinalar que non obstante, malia o anotado máis enriba desta sección, os mencionados coma cadrados satánicos, estritamente en sentido esotérico, non son tido por tales se non tan só o cadrado de n=6 esotérico, xa que a suma das súas cifras (Composición), suma 666. E é onde os cabalistas buscan ou deberían busca-lo número da Besta tal como se menciona na Biblia.

Este é o cadrado máxico "RENATO" e o seu autor é Jorge Egúsquiza Loayza. Este cadrado máxico que ten debidamente ordenados os números do 1 ó 400 suma 4.010 horizontal, vertical e diagonalmente. A súa creación foi posible usando o método de construción de cadrados máxicos inventado para o efecto. Este método baséase na extrapolación dos números usando unha secuencia só coñecida polo autor. A súa construción foi manual e demorou seis horas.

• Andrews, William Symes: Magic Squares and Cubes. Nova York: Dover, 1960. ISBN 0-486-20658-0
• Fults, John Lee: Magic Squares. La Salle, Illinois: Open Court, 1974. ISBN 0-87548-197-3
• Pickover, Clifford: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton, Nova Jersey: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11597-4

• Matemáticas recreativas

• Páxina de Blai Figueras Álvarez (en castelán).