Rectángulo dourado

O rectángulo dourado (denominado tamén rectángulo áureo ou rectángulo de ouro) é un rectángulo que posúe unha proporcionalidade entre os seus lados igual á razón áurea.^[1] Ao dividir a base deste rectángulo pola súa altura, obtense o número áureo 1.618. Ao subtraer a imaxe dun cadrado igual ao do seu lado menor, o rectángulo resultante é igualmente un rectángulo dourado. A partir deste rectángulo pódese obter a espiral dourada, que é unha espiral logarítmica.

Na matemática clásica constrúese mediante regra e compás seguindo os pasos:

1. Constrúese un cadrado de lado unidade ${\displaystyle ABCD}$
2. Trázase unha liña desde a metade do lado do cadrado (${\displaystyle G}$) até un dos vértices do lado oposto, dando un segmento ${\displaystyle GC}$
3. Empregando esta liña ${\displaystyle GC}$ como raio, colócase a punta do compás na metade do cadrado e abátese até cortar en ${\displaystyle E}$.
4. Complétase o rectángulo ${\displaystyle AEDF}$ así como o rectángulo ${\displaystyle BCEF}$.

De acordo co divulgador científico Mario Greco, desde a publicación do libro de Bruno Miere titulado Divina Proportione en 1509, é cando a razón dourada aparece descrita nos tratados de arte e de arquitectura, facendo que moitos artistas e arquitectos a empregasen a súa cantidade no deseño por consideralo esteticamente agradable.^[2][3][4]

Se a lonxitude do lado maior se denomina ${\displaystyle x}$, tense por definición:

${\displaystyle {\frac {x}{1}}={\frac {1}{x-1}}}$

Isto leva a resolver a ecuación de segundo grao:

${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

Na que unha das dúas raíces é a proporción dourada.

Trátase dunha das demostracións máis coñecidas desde a antigüidade.

O rectángulo cuxos vértices se definen polos puntos ${\displaystyle AEFD}$ defínese como áureo debido a que o seu lado maior ${\displaystyle AE}$ e o seu lado curto ${\displaystyle AD}$ presentan a proporción do número áureo. O matemático grego Euclides, na súa obra Os elementos, obtén a súa construción. Sendo o triángulo ${\displaystyle GBC}$ pitagórico, tense que ${\displaystyle GC}$ (a hipotenusa) ten como valor:

${\displaystyle GC={\sqrt {5}}}$

Con centro en ${\displaystyle G}$, prolongando até a recta ${\displaystyle AE}$, obtense por intersección o punto ${\displaystyle E}$, e por tanto:

${\displaystyle GE=GC={\sqrt {5}}}$

con todo iso pódese ver que resulta evidente que os lados:

${\displaystyle AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}}$

de onde:

${\displaystyle {\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }$

Por outra banda, os rectángulos ${\displaystyle AEFD}$ e ${\displaystyle BEFC}$ son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo.

O rectángulo áureo foi cualificado polos gregos clásicos como unha das figuras xeométricas máis belamente estruturadas. Por un longo lapso de séculos, os arquitectos utilizaron este cuadrilátero para templos, rañaceos e edificacións de diversa índole, desde o Partenón de Atenas (s. V a.C.), cuxa fachada dianteira se inscribe nun rectángulo áureo^[5] até a sede das Nacións Unidas.

• A norma DIN 476 é a que define a medida do DIN A4 e outros tamaños de papel. O DIN A4 e os seus derivados A3, A2... non manteñen as proporcións do rectángulo dourado, senón que manteñen a relación ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.4142}$, casualmente a proporción que usaba Policleto para o seu canon.

As pescudas e debates sobre o tema naceron no s. XIX cos experimentos de Fechner, que tentou confirmar a superioridade estética do rectángulo dourado a través de investigacións dirixidas a demostrar a súa preferencia polos humanos.

A enquisa realizouse segundo tres metodoloxías complementarias.

• De elección (Wahl): solicitude aos suxeitos para escolleren os rectángulos que preferían.
• De produción (Herstellung): os suxeitos debuxan o rectángulo que consideran máis agradábel.
• De uso (Verwendung): medindo obxectos de uso cotián para verificar a presenza da proporción áurea.

Nos resultados publicados en 1879 só a primeira enquisa deu un resultado positivo, segundo as súas conviccións, cunha preferencia do 35% polo rectángulo dourado. Porén, de inmediato xurdiron críticas ao método do experimento. Fechner amosara a 347 persoas unha disposición de 10 rectángulos de igual área coa relación entre os lados en orde crecente (de 1:1 a 1:2,5), na que o rectángulo dourado ocupaba a 7ª posición, preguntando cal era máis agradábel. As críticas xurdiron en tres ordes de observación:

1. Ter desatendido a influencia da orientación vertical ou horizontal na elección das persoas.
2. A influencia da posición mediana. Os suxeitos puideron estar orientados a indicar o rectángulo dourado xa que representaba a figura coas proporcións medias entre os presentados.
3. Os suxeitos non foron escollidos ao azar e sobre todo eran conscientes das crenzas do científico, o que supón todos os posibles problemas para os que hoxe se adopta o procedemento de dobre cego.

Os experimentos, aínda que só un deu o resultado esperado, abriron unha liña de investigacións nas que a preferencia pola sección dourada resultou cada vez máis unha quimera, até que finalmente tivo unha conclusión negativa na última década do século XX.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Rectángulo dourado

• Número áureo

• The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
• Golden rectangle demonstration With interactive animation
• From golden rectangle to golden quadrilaterals Explores some different possible golden quadrilaterals