Orde (teoría de grupos)

En matemáticas, a orde dun grupo finito é o número dos seus elementos. Se un grupo non é finito, dise que a súa orde é infinita. A orde dun elemento dun grupo (tamén chamado período) é a orde do subgrupo xerado polo elemento. Se a operación de grupo se denota como unha multiplicación, a orde dun elemento a dun grupo é, polo tanto, o menor enteiro positivo m de tal xeito que a^m = e, onde e denota o elemento de identidade do grupo e a^m indica o produto de m copias de a. Se non existe tal m, a orde de a é infinita.

A orde dun grupo G denotase por ord(G) ou |G|, e a orde dun elemento a denotase por ord(a) ou |a|, en vez de ${\displaystyle \operatorname {ord} (\langle a\rangle ),}$ onde os corchetes en ángulo indican o grupo xerado por a.

O teorema de Lagrange di que para calquera subgrupo H dun grupo finito G, a orde do subgrupo divide a orde do grupo; é dicir, |H| é un divisor de |G|. En particular, a orde |a| de calquera elemento é un divisor de |G|.

O grupo simétrico S₃ ten a seguinte táboa multiplicativa ou de Cayley.

Este grupo ten seis elementos, así que ord(S₃) = 6 . Por definición, a orde da identidade, e, é un, xa que e ¹ = e. Cada un dos s, t e w son e ao elevaren ao cadrado, polo que estes elementos do grupo teñen orde dous: |s| = |t| = |w| = 2. Finalmente, u e v teñen orde 3, xa que u³ = vu = e, v³ = uv = e.

A orde dun grupo G e as ordes dos seus elementos dan moita información sobre a estrutura do grupo. A grandes liñas, canto máis complicada é a factorización de |G| máis complicada é a estrutura de G.

Para |G| = 1, o grupo é trivial. En calquera grupo, só o elemento de identidade a = e ten ord(a) = 1. Se todo elemento non identidade en G é igual ao seu inverso (de xeito que a ² = e), entón ord(a) = 2; isto implica que G é abeliano xa que ${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$ . A inversa non é verdade; por exemplo, o grupo cíclico (aditivo) Z₆ de números enteiros módulo 6 é abeliano, pero o número 2 ten orde 3:

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$ .

A relación entre os dous conceptos de orde é a seguinte: se escribimos

${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}}$

para o subgrupo xerado por a, daquela

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}$

Para calquera número enteiro k, temos

a ^k = e se e só se ord(a) divide a k.

En xeral, a orde de calquera subgrupo de G divide a orde de G. Máis precisamente: se H é un subgrupo de G, daquela

ord(G )/ord(H) = [G :H], onde [G:H] chámase índice de H en G, un número enteiro. Este é o teorema de Lagrange. (Isto só é certo cando G ten orde finita. Se ord(G) = ${\displaystyle \infty }$, o cociente ord(G)/ord(H) non ten sentido).

Como consecuencia inmediata do anterior, vemos que a orde de cada elemento dun grupo divide a orde do grupo. Por exemplo, no grupo simétrico mostrado arriba, onde ord(S₃) = 6, as posibles ordes dos elementos son 1, 2, 3 ou 6.

Polo outro lado, o seguinte é verdade para grupos finitos: se d divide a orde dun grupo G e d é un número primo, entón existe un elemento de orde d en G (ás veces chámase teorema de Cauchy). Esta afirmación non vale para as ordes compostas, por exemplo, o grupo de Klein-4 non ten un elemento de orde catro. Isto pódese demostrar mediante indución.^[1] As consecuencias do teorema inclúen: a orde dun grupo G é unha potencia dun p primo se e só se ord(a) é algunha potencia de p para todo a en G.^[2]

Se a ten unha orde infinita, todas as potencias distintas de cero de a tamén teñen unha orde infinita. Se a ten orde finita, temos a seguinte fórmula para a orde das potencias de a:

ord(a^k) = ord(a) / mcd(ord(a), k)^[3]

para todo número enteiro k. En particular, a e a súa inversa a ⁻¹ teñen a mesma orde.

En calquera grupo,

${\displaystyle \operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)}$

Os homomorfismos de grupo tenden a reducir as ordes dos elementos: se f : G → H é un homomorfismo e a é un elemento de G de orde finita, entón ord(f (a)) divide ord(a). Se f é inxectiva, entón ord(f(a)) = orde(a). Isto pode usarse a miúdo para demostrar que non hai homomorfismos nin homomorfismos inxectivos entre dous grupos dados explicitamente. (Por exemplo, non pode haber homomorfismo non trivial h: S₃ → Z₅, porque todo número agás o cero en Z₅ ten orde 5, que non divide as ordes 1, 2 e 3 dos elementos en S ₃ .) Outra consecuencia é que os elementos conxugados teñen a mesma orde.

Un resultado importante sobre as ordes é a ecuación de clase; relaciona a orde dun grupo finito G coa orde do seu centro Z(G) e os tamaños das súas clases de conxugación non triviais:

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}$

onde os d_i son os tamaños das clases de conxugación non triviais; estas son divisores propios de |G| maiores que un, e tamén son iguais aos índices dos centralizadores en G dos representantes das clases de conxugación non triviais. Por exemplo, o centro de S₃ é só o grupo trivial co único elemento e, e a ecuación di |S₃ |= 1+2+3.

• Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 20, 54–59, 90
• Artin, Michael. Algebra, ISBN 0-13-004763-5, pp. 46–47

• Índice (teoría de grupos).