Isometría

En matemáticas, unha isometría (ou congruencia ou transformación congruente) é unha transformación que preserva a distancia entre espazos métricos, normalmente se supón que é bixectiva. ^[2]|name=CoxeterIsometryDef}} A palabra isometría deriva do grego antigo: ἴσος isos que significa "igual", e μέτρον metron que significa "medida". Se a transformación é dun espazo métrico a si mesmo, é unha especie de transformación xeométrica coñecida como movemento.

Dado un espazo métrico (vagamente, un conxunto e un esquema para asignar distancias entre os elementos do conxunto), unha isometría é unha transformación que mapea elementos ao mesmo ou a outro espazo métrico de forma que a distancia entre os elementos da imaxe no novo espazo métrico é igual á distancia entre os elementos no espazo métrico orixinal. Nun espazo euclidiano bidimensional ou tridimensional, dúas figuras xeométricas son congruentes se están relacionadas por unha isometría; a isometría que os relaciona é ou ben un movemento ríxido (translación ou rotación) ou unha composición dun movemento ríxido e unha reflexión.

Sexan ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ espazos métricos con métricas (por exemplo, distancias) ${\textstyle d_{X}}$ e ${\textstyle d_{Y}.}$ Un mapa ${\textstyle f\colon X\to Y}$ chámase isometría ou mapa de preservación da distancia, se para todos os ${\displaystyle a,b\in X}$,

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^[3]

Unha isometría é automaticamente inxectiva; se non, dous puntos distintos, a e b, poderían ser mapeados no mesmo punto, contradicindo así o axioma de coincidencia da métrica d, é dicir, ${\displaystyle d(a,b)=0}$ se e só se ${\displaystyle a=b}$.

Unha isometría global, isomorfismo isométrico ou mapeo de congruencia é unha isometría bixectiva. Como calquera outra bixección, unha isometría global ten unha función inversa. A inversa dunha isometría global é tamén unha isometría global.

Dous espazos métricos X e Y chámanse isométricos se hai unha isometría bixectiva de X a Y. O conxunto de isometrías bixectivas desde un espazo métrico ata si mesmo forma un grupo con respecto á composición da función, chamado grupo de isometría.

Unha isometría de camiño ou isometría de arco é un mapa que conserva as lonxitudes das curvas; tal mapa non é necesariamente unha isometría no sentido de preservación da distancia, e non ten por que ser necesariamente bixectivo, nin sequera inxectivo. Este termo adoita abreviarse simplemente a isometría, polo que hai que ter coidado de determinar a partir do contexto que tipo se pretende.

Exemplos

• Calquera reflexión, translación e rotación é unha isometría global sobre espazos euclidianos.
• O mapa ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é unha isometría de camiño pero non unha isometría (xeral). Teña en conta que a diferenza dunha isometría, esta isometría de camiño non precisa ser inxectiva.

O conxunto de todos os mapas que son isometrías dun conxunto contido nun espazo métrico forma un grupo coñecido como grupo de isometría do conxunto. Nun espazo euclidiano de dimensión n o grupo de isometría ${\displaystyle G_{iso}\,}$ de calquera conxunto é un subgrupo do grupo de produtos formado a partir do grupo ortogonal e o grupo de translaciones:

${\displaystyle G_{iso}\subset O(n)\times \mathbb {R} ^{n}}$

Dados dous espazos vectoriais normados V e W, unha isometría linear é unha aplicación linear ${\displaystyle f\colon V\rightarrow W}$ que conserva a norma:

${\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}$

para todas as ${\displaystyle v\in V}$. Neste sentido, unha isometría conserva a distancia inducida pola norma do espazo vectorial. Unha isometría chámase global se é unha función sobrexectiva.

Nun espazo pre-hilbertiano (un espazo vectorial dotado de produto escalar), a definición anterior equivale a que

${\displaystyle \langle f(v),f(v)\rangle =\langle v,v\rangle \quad \forall v\in V}$

e isto é equivalente a que se conserve o produto escalar:

${\displaystyle \langle f(u),f(v)\rangle =\langle u,v\rangle \quad \forall u,v\in V}$.

En efecto, que esta igualdade implique a anterior é trivial; o recíproco dedúcese do feito de que o produto escalar está determinado pola norma segundo a identidade do paralelogramo:

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2} \over 4}.}$

Se se conserva a norma, tamén se conserva o produto escalar, dado por esta identidade.

Segundo o teorema de Mazur-Ulam, calquera isometría dun espazo vectorial normado no corpo do números reais é afín.

Debido a como se definen ángulos nun espazo vectorial, toda isometría linear conserva os ángulos, é dicir, unha isometría linear é unha aplicación conforme linear.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Isometría

• Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580. 
• Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9. 

• Grupo de isometría.
• Rotación
• Translación (xeometría)