Ideal maximal

En matemáticas, máis concretamente na teoría de aneis, un ideal maximal é un ideal que é maximal (en relación á inclusión de conxuntos) entre todos os ideais propios. ^[1][2]Noutras palabras, I é un ideal maximal dun anel R se non hai outros ideais contidos entre I e R .

Os ideais máximos son importantes porque os aneis cocientes polos ideais máximos son aneis simples, e no caso especial dos aneis conmutativos unitarios tamén son corpos.

Na teoría de aneis non conmutativos, un ideal maximal pola dereita defínese de xeito análogo como un elemento maximal no poset dos ideais propios pola dereita (de xeito similar temos un ideal maximal pola esquerda). Dado que un ideal maximal unilateral A non é necesariamente bilateral, o cociente R/A non é necesariamente un anel, senón que é un módulo simple sobre R. Se R ten un único ideal maximal pola dereita, entón R coñécese como un anel local, e o ideal máximal pola dereita tamén é o único ideal maximal pola esquerda e único maximal bilateral do anel, e é de feito o radical de Jacobson J(R).

É posíbel que un anel teña un único ideal maximal bilateral e, aínda así, careza de ideais maximais únicos dun lado: por exemplo, no anel de matrices cadradas 2 por 2 sobre un corpo, o ideal cero é un ideal maximal bilateral, mais hai moitos ideais maximais pola dereita.

Existen outras formas equivalentes de expresar a definición dos ideais maximais unilaterales e bilaterais. Dado un anel R e un ideal propio I de R (é dicir, I ≠ R ), I é un ideal maximal de R se cumpre algunha das seguintes condicións equivalentes:

• Non existe outro ideal propio J de R tal que I ⊊ J .
• Para calquera ideal J con I ⊆ J, J = I ou J = R.
• O anel cociente R/I é un anel simple.

Hai unha lista análoga para ideais unilaterales, para a que só se darán as versións pola dereita. Para un ideal pola dereita A dun anel R, as seguintes condicións equivalen a que A sexa un ideal maximal pola dereita de R:

• Non existe ningún outro ideal propio pola dereita B de R tal que A ⊊ B .
• Para calquera ideal pola dereita B con A ⊆ B, ben B = A ou B = R .
• O módulo cociente R/A é un módulo R pola dereita simple.

Os ideais maximais dereita/esquerda/bilaterais son a noción dual de ideais minimais.

• Se F é un corpo, entón o único ideal maximal é {0}.
• No anel Z de números enteiros, os ideais maximais son os ideais principais xerados por un número primo.
• En xeral, todos os ideais primos distintos de cero son maximais nun dominio de ideais principais (PID).
• O ideal ${\displaystyle (2,x)}$ é un ideal maximal no anel ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Xeralmente, os ideais maximais de ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ teñen a forma ${\displaystyle (p,f(x))}$ onde ${\displaystyle p}$ é un número primo e f(x) é un polinomio en ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ que é irreducíbel módulo ${\displaystyle p}$.
• Todo ideal primo é un ideal maximal nun anel booleano, é dicir, un anel formado só por elementos idempotentes. De feito, todo ideal primo é maximal nun anel conmutativo ${\displaystyle R}$ sempre que exista un enteiro ${\displaystyle n>1}$ tal que ${\displaystyle x^{n}=x}$ para calquera ${\displaystyle x\in R}$.
• Os ideais maximais do anel polinómico ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ son ideais principais xerados por ${\displaystyle x-c}$ para algúns ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$.
• De xeito máis xeral, os ideais maximais do anel polinómico K[x₁, ..., x_n ] sobre un corpo alxebricamente pechado K son os ideais da forma (x₁ − a₁, ..., x _n − a_n). Este resultado coñécese como Nullstellensatz débil.

• Un ideal importante do anel chamado radical de Jacobson pódese definir usando ideais maximais pola dereita (ou pola esquerda).
• Se R é un anel conmutativo unitario cun ideal m, entón k = R/m é un corpo se e só se m' ' é un ideal maximal. Nese caso, R/m coñécese como o corpo de residuos. Este feito pode fallar en aneis non unitarios. Por exemplo, ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ é un ideal maximal en ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, mais ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ non é un corpo.
• Se L é un ideal maximal pola esquerda, entón R/L é un R-módulo pola esquerda simple. Pola contra, nos aneis con unidade, calquera R-módulo simple pola esquerda xorde dese xeito. De paso, isto mostra que unha colección de representantes de R-módulos simples pola esquerda é en realidade un conxunto xa que se pode poñer en correspondencia con parte do conxunto de ideais maximais pola esquerda de R.
• Teorema de Krull (1929): Todo anel unitario distinto de cero ten un ideal maximal. O resultado tamén é certo se "ideal" é substituído por "ideal pola dereita" ou "ideal pola esquerda". De xeito máis xeral, é certo que todo módulo xerado finitamente distinto de cero ten un submódulo maximal. Supoña que I é un ideal que non é R (respectivamente, A é un ideal pola dereita que non é R). Entón R/I é un anel con unidade (respectivamente, R/A é un módulo xerado finitamente), polo que os teoremas anteriores pódense aplicar ao cociente de concluír que existe un ideal maximal (respectivamente, ideal maximal pola dereita) de R que contén I (respectivamente, A).
• O teorema de Krull pode fallar para aneis sen unidade. Un anel radical, é dicir, un anel no que o radical de Jacobson é o anel enteiro, non ten módulos simples e, polo tanto, non ten ideais maximais pola dereita ou pola esquerda. Consulte o artigo ideal regular para ver formas posíbeis de evitar este problema.
• Nun anel conmutativo con unidade, todo ideal maximal é un ideal primo. A inversa non sempre é verdade: por exemplo, en calquera non corpo dominio de integridade o ideal cero é un ideal primo que non é maximal. Os aneis conmutativos nos que os ideais primos son maximais coñécense como aneis cero dimensionais, onde a dimensión utilizada é a dimensión de Krull.
• Un ideal maximal dun anel non conmutativo pode non ser primo no sentido conmutativo. Por exemplo, sexa ${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$ o anel de todas as matrices ${\displaystyle n\times n}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Este anel ten un ideal maximal ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ para calquera ${\displaystyle p}$ primo, pero este non é un ideal primo xa que (no caso ${\displaystyle n=2}$) ${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$ e ${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$ non están en ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$, mais ${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$.

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and categories of modules. Graduate Texts in Mathematics 13 (2 ed.). New York: Springer-Verlag. pp. x+376. ISBN 0-387-97845-3. MR 1245487. doi:10.1007/978-1-4612-4418-9. 
• Lam, T. Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics 131 (2 ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xx+385. ISBN 0-387-95183-0. MR 1838439. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 

• Ideal primo.
• Ideal (teoría dos aneis)

• Maximal and Prime Ideals (Libre texts).