Espazo localmente compacto

Este artigo precisa de máis fontes ou referencias que aparezan nunha publicación acreditada que poidan verificar o seu contido, como libros ou outras publicacións especializadas no tema. Por favor, axude mellorando este artigo. (Desde xuño de 2018.)

Sexa ${\displaystyle X}$ un espazo topolóxico. ${\displaystyle X}$ dise localmente compacto se cada punto ${\displaystyle x}$ de ten unha veciñanza compacta, isto é, existe un conxunto aberto  ${\displaystyle U}$  e un conxunto compacto ${\displaystyle K}$, tal que ${\displaystyle x\in U\subset K}$.

Hai outras definicións comúns que son equivalente se ${\displaystyle X}$ é Hausdorff, mais que non o son en xeral:

1. Cada punto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ ten unha veciñanza compacta.

2. Cada punto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ ten unha veciñanza compacta aberta.

3. Cada punto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ ten unha base local de veciñanzas compactas.

A condición (1) é moi empregada xa que é a menos restritiva. As outras son equivalentes a esta cando X é Hausdorff. Esta equivalencia é unha consecuencia de que os subconxuntos compactos dun espazo Hausdorff son pechados, e os pechado dos espazos compactos son compactos.

Todo espazo Hausdorff compacto é tamén localmente compacto. Pódense ver varios exemplos na páxina de espazos compactos. Algúns deles son:

• O intervalo pechado [0,1].
• O conxunto de Cantor.
• O cubo de Hilbert.