Espazo de medida

Un espazo de medida é un obxecto básico da teoría da medida, unha rama das matemáticas que estuda as nocións xeneralizadas de volumes. Contén un conxunto subxacente, os subconxuntos deste conxunto que son factíbeis para medir (a σ-álxebra ) e o método que se usa para medir (a medida). Un exemplo importante de espazo de medida é un espazo de probabilidade.

Un espazo medíbel consta dos dous primeiros compoñentes sen unha medida específica.

Un espazo de medida é unha terna ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$ onde ^{[1] [2]}

• ${\displaystyle X}$ é un conxunto
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ é unha σ-álxebra no conxunto ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$ é unha medida en ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Noutras palabras, un espazo de medida consiste nun espazo medíbel ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ xunto cunha medida sobre el.

Sexa ${\displaystyle X=\{0,1\}}$. A ${\textstyle \sigma }$-álxebra en conxuntos finitos como o anterior adoita ser o conxunto de partes, que é o conxunto de todos os subconxuntos (dun conxunto dado) e denotado por ${\textstyle \wp (\cdot ).}$ Seguindo esta convención, estabelecemos $${\displaystyle {\mathcal {A}}=\wp (X)}$$

Neste caso sinxelo, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) pode escribirse de forma explícita: $${\displaystyle \wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$$

Como medida, definimos ${\textstyle \mu }$ por $${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$$ así ${\textstyle \mu (X)=1}$ (por adición de medidas) e ${\textstyle \mu (\varnothing )=0}$ (por definición de medidas).

Isto leva ao espazo de medida ${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$ É un espazo de probabilidade, xa que ${\textstyle \mu (X)=1.}$ A medida ${\textstyle \mu }$ corresponde á distribución de Bernoulli con ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$ que se usa, por exemplo, para modelar unha moeda xusta.

As clases máis importantes de espazos de medidas defínense polas propiedades das súas medidas asociadas. Isto inclúe, por orde de xeneralidade crecente:

• Espazos de probabilidade, un espazo de medida onde a medida é unha medida de probabilidade ^[1]
• Espazos de medidas finitas, onde a medida é unha medida finita ^[3]
• ${\displaystyle \sigma }$-espazos de medidas finitas, onde a medida é a ${\displaystyle \sigma }$-medida finita ^[3]

Outra clase de espazos de medida son os espazos de medida completa. ^[4]

1. ↑ ^{1,0 1,1} Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8. 
2. ↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
3. ↑ ^{3,0 3,1} Anosov, D.V. (2001) [1994]. "Measure space". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
4. ↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 33. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 

• Espazo medíbel.
• Teoría da medida.

• Measure_space.