Grupo de torsión

Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, un grupo de torsión ou un grupo periódico é un grupo no que cada elemento ten orde finita. O expoñente de tal grupo, se existe, é o mínimo común múltiplo das ordes dos elementos.

Por exemplo, do teorema de Lagrange despréndese que todo grupo finito é periódico e ten un expoñente que divide a súa orde.

Exemplos de grupos periódicos infinitos inclúen o grupo aditivo do anel de polinomios sobre un corpo finito e o grupo cociente dos racionais polos enteiros, así como os seus sumandos directos, os grupos de Prüfer. Outro exemplo é a suma directa de todos os grupos diédricos. Ningún destes exemplos ten un conxunto xerador finito. Golod construíu exemplos explícitos de infinitos grupos periódicos xerados de xeito finito,^[1] baseándose nun traballo conxunto con Shafarevich (ver teorema de Golod-Shafarevich), e por Aleshin^[2] e Grigorchuk^[3] utilizando autómatas. Estes grupos teñen expoñente infinito; exemplos con expoñente finito dan por exemplo os grupos de Tarski construídos por Olshanskii. ^[4]

O problema de Burnside é unha cuestión clásica que trata sobre a relación entre grupos periódicos e grupos finitos, cando só se consideran grupos finitamente xerados: Especificar un expoñente forza a finitude? A existencia de grupos periódicos infinitos e finitamente xerados como no parágrafo anterior mostra que a resposta é "non" para un expoñente arbitrario. Aínda que se sabe moito máis sobre cal son os expoñentes que poden ocorrer para infinitos grupos finitamente xerados, aínda hai algúns para os que o problema está aberto.

Para algunhas clases de grupos, por exemplo os grupos lineais, a resposta ao problema de Burnside restrinxido á clase é positiva.

Unha propiedade interesante dos grupos periódicos é que a definición non se pode formalizar en termos de lóxica de primeira orde. Isto é porque facelo requiriría un axioma da forma

${\displaystyle \forall x,{\big (}(x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots {\big )},}$

que contén unha disxunción infinita e, polo tanto, é inadmisible: a lóxica de primeira orde permite cuantificadores sobre un tipo e non pode captar propiedades ou subconxuntos dese tipo.

O subgrupo de torsión dun grupo abeliano A é o subgrupo de A que consta de todos os elementos que teñen orde finita. Un grupo abeliano de torsión é un grupo abeliano no que cada elemento ten orde finita. Un grupo abeliano libre-de-torsión é un grupo abeliano no que o elemento identidade é o único elemento con orde finita.

• Torsión (algebra)
• Teorema de Jordan–Schur