Agregación limitada por difusión

A agregación limitada por difusión (en inglés Diffusion-limited aggregation, DLA) é un proceso estocástico no que as partículas encadenadas aleatorias, liberadas debido ao movemento browniano, agloméranse para formar agregados, aferrándose unhas ás outras. Esta teoría, proposta por Thomas Witten e Leonard Sander en 1981,^[1][2] é aplicable á agregación de calquera sistema onde a difusión é o principal medio de transporte. Deste xeito obtéñense estruturas moi ramificadas e a súa complexidade pódese analizar mediante xeometría fractal.

O DLA pódese usar para modelar algúns patróns naturais, e pódese observar en sistemas como a electrodeposición, o fluxo de Hele-Shaw, os depósitos minerais e a descomposición dieléctrica.

DLA ten algunhas propiedades compartidas cos fractais; ten unha estrutura ben definida a escalas moi pequenas e a súa dimensión de Haussdorff é maior que a dimensión topolóxica.^[3]

O algoritmo de Witten e Sander baséase no modelo de crecemento aleatorio da agregación de partículas. Dado un grupo de n partículas, un camiñante aleatorio tenderá a unirse para formar un grupo de n + 1 partículas. Canto maior sexa o clúster, máis puntos de unión coas partículas non unidas haberá, acelerando así o proceso de ramificación da estrutura.^[4] Este é un proceso estocástico, debido á natureza probabilística do camiñante aleatorio.

As estruturas construídas por este algoritmo son moi ramificadas e a súa dimensión fractal pódese calcular a partir do número de partículas e do seu raio medio. Para calquera dimensión topolóxica ${\displaystyle d}$, a dimensión fractal ${\displaystyle D_{f}}$ ten un valor enteiro que tende a ${\displaystyle d-1}$ . Non obstante, a natureza fractal do DLA é débil polo que non está lonxe ${\displaystyle d}$, especialmente en dúas dimensións. Ademais, isto varía moito dependendo da estrutura da rede e da xeometría da simulación.

Hai que ter en conta que calcular a dimensión nunha soa mostra non é suficiente, xa que hai moitas estruturas posibles e a dimensión fractal entre elas varía moito (por exemplo, se se formase unha liña recta de partículas a dimensión sería 1, pero o probabilidade de que ocorra é moi baixa). Polo tanto, para facer un cálculo máis fiable da dimensión fractal da estrutura, hai que facer moitas réplicas, utilizando un modelo de Monte Carlo.

A velocidade dun fluído nun ambiente poroso é proporcional ao gradiente de presión dun fluído: ${\displaystyle {\vec {v}}=-{\frac {k}{\mu }}\nabla p}$ on ${\displaystyle k}$ é a permeabilidade do medio poroso e ${\displaystyle \mu }$ a viscosidade do fluído.

Se se considera un fluído non compresible, a ecuación anterior leva á ecuación de Laplace. Ao introducir un segundo fluído cunha viscosidade moito menor, obtense un fluxo Hele-Shaw. A presión deste novo fluído pódese considerar constante, debido á súa baixa viscosidade, polo que segue sendo aplicable a ecuación de Laplace. O proceso DLA é similar, se estes parámetros se usan para definir a probabilidade de adhesión aleatoria do andador. Aínda que o fluxo de Hele-Shaw é de natureza determinista (mentres que o DLA é estocástico), en ambos os casos o crecemento da interface é o suficientemente lento como para usar a ecuación de Laplace en lugar da ecuación de difusión. Polo tanto, o modelo de Laplace é útil para explicar patróns formados no DLA.^[6] Do mesmo xeito, o DLA ou as súas variantes utilizáronse para modelar procesos como a electrodeposición ou a fractura dieléctrica.

Dado que as funcións analíticas bidimensionais satisfán a ecuación de Laplace para calquera punto non singular, a teoría do mapeo conforme proporciona outro mecanismo para construír formas.^[7] Así, pódese crear un DLA bidimensional aplicando repetidamente iteracións estocásticas de mapeo conforme. O mapeo conforme defínese como a función ${\displaystyle f(z)}$ dende o plano complexo ata a rexión conectada a D, onde a súa derivada ${\displaystyle df/dz}$ nunca é cero para D. Como resultado, un proporciona unha asignación a outra rexión que simplemente está conectada internamente por D, mapeando os límites dunha rexión cos límites da outra. Riemann demostrou que para rexións finitas o mapa é único. A función inversa tamén é única, ${\displaystyle g(f(z))=z}$ .

Se definimos un mapa de raio circular ${\displaystyle r}$ onde se forman picos de radio ${\displaystyle a}$, o método de Hastings-Levitov pódese usar para definir a función de mapeo:^[8]

${\displaystyle w=f_{a}(z)=(z-a+{\frac {r^{2}}{z-a}})/2}$

Por este método, obtense un DLA cando estes picos se aplican aleatoriamente e todos teñen o mesmo tamaño. O número de picos é igual ao tamaño dos grupos.

Este método é análogo ao fluxo de Hele-Shaw descrito anteriormente: a probabilidade de que unha partícula atope a estrutura satisfai a ecuación de Laplace ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (z)=0}$, coas condicións:

• A probabilidade será cero no bordo do cúmulo (xa que a partícula se pega cando toca unha partícula do cúmulo): ${\displaystyle \psi (z)=0,z\in \partial C}$
• A función ${\displaystyle \psi (z)}$ debe ser independente do enderezo: ${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{2\pi }}\ln {\vert z\vert },\vert z\vert \rightarrow \infty }$

A probabilidade de crecemento acumulada no punto ${\displaystyle z}$ é ${\displaystyle dP(z)=\vert \nabla \psi (z)\vert dl}$ . Segundo a teoría do mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme que sinala o exterior do círculo unitario cara ao exterior do cluster. Esta propiedade tamén permite calcular a dimensión fractal, pola relación entre o raio e o número de picos. Nos cúmulos isótropos, a densidade de correlación depende só da distancia ${\displaystyle r}$ .

Os clústeres dun DLA teñen multifractalidade, é dicir, teñen diferentes tipos de fractais en diferentes rexións do DLA. A probabilidade de que unha nova partícula se insira no cúmulo por contacto cunha partícula concreta ${\displaystyle p_{i}}$ do cúmulo non é uniforme entre todas as partículas do cúmulo. É máis fácil que se poña en contacto cos de fóra que cos de dentro, xa que para chegar aos de dentro ten que esquivar aos demais. Como a distribución das partículas é multifractal, pódese definir unha función para calcular estas diferenzas e obter a dimensión fractal en cada partícula. A dimensión fractal conxunta calculada será a máxima obtida con este método.^[9]

A multifractalidade é especialmente interesante neste caso porque as características multifractais son leis de escala que se relacionan coas probabilidades da dimensión fractal.

A autosemellanza do DLA pódese analizar mediante a teoría da renormalización e os resultados obtidos. Outro enfoque para examinar o problema é considerar que as ramas se solapan ao mesmo tempo nun sistema dinámico. Deste xeito tamén se pode obter información sobre a multifractalidade do sistema.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Agregación limitada por difusión

• Paul Bourke, DLA - Diffusion Limited Aggregation - Process Description and Examples (en inglés) [Acceso: 28 de marzo de 2020]
• Agregación limitada de difusión (un modelo de crecemento fractal) [(en inglés) Consultado: 28 de marzo de 2020]
• Agregación limitada por difusión e a súa simulación (en inglés) consultado: 28 de marzo de 2020]