Conxunto aberto

En topoloxía, dise que un conxunto é aberto se unha pequena variación dun punto dese conxunto manteno no conxunto.

En topoloxía o concepto de aberto é básico: unha topoloxía T nun conxunto X é definida como un subconxunto do conxunto das partes de X (satisfacendo determinadas propiedades), e cada elemento de T chámase aberto ou conxunto aberto.

Un subconxunto dun espazo métrico ${\displaystyle X\,\!}$ é aberto se, para cada punto ${\displaystyle a\in X}$, existe ${\displaystyle \epsilon >0\,\!}$ tal que a bóla aberta ${\displaystyle B(a,\epsilon )\,\!}$ está contida en ${\displaystyle X\,\!}$.

• Nun espazo topolóxico ou espazo métrico X, o conxunto baleiro e o propio conxunto X son abertos.
• Un conxunto é aberto se e só se coincidir co seu interior.
• Un conxunto é aberto se e só se o seu complementario for pechado.
• A intersección de dous conxuntos abertos é un conxunto aberto.
• A unión de calquera cantidade (mesmo infinita) de conxuntos abertos é un conxunto aberto.

Como ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (coa topoloxía usual) é un espazo métrico, un subconxunto ${\displaystyle X\,\!}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é aberto se, para cada punto ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, existe ${\displaystyle \epsilon \,\!}$ tal que ${\displaystyle (a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset X}$.

En ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un subconxunto é aberto se e só for reunión (posiblemente infinita) de intervalos abertos. O propio conxunto dos números reais é un conxunto aberto.