Problème de Waring

On a clairement g(1) = 1, et quelques calculs montrent que 7 requiert quatre carrés, 23 requiert neuf cubes^[5] et 79 requiert dix-neuf puissances quatrièmes, donc g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9 et g(4) ≥ 19. Waring conjectura que ces inégalités étaient en fait des égalités^[1].

Le théorème des quatre carrés de Lagrange de 1770 affirme que tout entier naturel est somme de quatre carrés ; puisque trois carrés ne sont pas suffisants pour décomposer 7, ce théorème établit que g(2) = 4.

Au fil des années, divers majorants de g furent trouvés, avec des techniques de démonstration de plus en plus sophistiquées ; par exemple, Liouville montra que g(4) vaut au plus 53. De même, Hardy et Littlewood démontrèrent que tout entier suffisamment grand est somme de dix-neuf puissances quatrièmes.

Les valeurs de g(k) pour k de 2 à 17 sont^[6] :

Pour k compris entre 3 et 7, elles ont été déterminées entre 1909 et 1986.

J. A. Euler, le fils de Leonhard Euler, remarque en 1772 que pour tout k ≥ 1^[11],

où [x] désigne la partie entière de x. En effet, comme l'entier 2^k[(3/2)^k] – 1 est strictement inférieur à 3^k, une représentation de cet entier comme somme de puissances k-ièmes ne peut être formée que de puissances k-ièmes de 2 et de 1, et sa représentation la plus économique est 2^k[(3/2)^k] – 1 = ([(3/2)^k] – 1)×2^k + (2^k – 1)×1^k, donc g(k) ≥ ([(3/2)^k] – 1) + (2^k – 1) = 2^k + [(3/2)^k] – 2.

Les formules établies depuis semblent indiquer que l'inégalité remarquée par J. A. Euler est en fait une égalité. En effet, Dickson, Pillai, Rubugunday, Niven^[12] et d'autres ont démontré que g(k) est égal à cette valeur dès que 2^k{(3/2)^k} + [(3/2)^k] ≤ 2^k (où {x} désigne la partie fractionnaire de x) et que dans le cas contraire, i.e. si 2^k{(3/2)^k} + [(3/2)^k] > 2^k, g(k) est égal à cette valeur augmentée de [(4/3)^k] ou de [(4/3)^k] – 1, selon que [(4/3)^k][(3/2)^k] + [(4/3)^k] + [(3/2)^k] est égal ou strictement supérieur à 2^k. Or on conjecture que ce « cas contraire » ne se produit jamais. Mahler^[13] a démontré qu'il ne peut se produire que pour un nombre fini de valeurs de k et Kubina et Wunderlich^[14] ont démontré qu'un tel k est nécessairement supérieur à 471 600 000.

Les travaux de Hardy et Littlewood ont mis en évidence un nombre plus important que g(k) : le nombre G(k), défini comme le plus petit nombre s tel que tout entier « suffisamment grand » — c'est-à-dire supérieur à une certaine constante dépendant de k — soit somme de s puissances k-ièmes d'entiers positifs. Il est toujours inférieur ou égal à g(k) mais inversement, sa finitude entraîne celle de g(k).

Puisqu'un entier de la forme 8m – 1 n'est jamais somme de trois carrés, G(2) ≥ 4. Comme de plus G(2) ≤ g(2) = 4, ceci prouve que G(2) = 4. Davenport a établi en 1939 que G(4) = 16, démontrant même que tout entier suffisamment grand non congru modulo 16 à 0 ou –1 est somme de 14 puissances quatrièmes (Vaughan ramena le nombre à 13 en 1985 et à 12 en 1989). Aucune autre valeur exacte de G(k) n'est connue, mais on a des encadrements.

Le nombre G(k) est supérieur ou égal à :

• 2^{r + 2}             si k = 2^r avec r ≥ 2, ou si k = 3×2^r ;
• p^{r + 1}             si p est un nombre premier strictement supérieur à 2 et k = p^r(p − 1) ;
• (p^{r + 1} − 1)/2   si p est un nombre premier strictement supérieur à 2 et k = p^r(p − 1)/2.

Ces minorations se déduisent facilement de la structure du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ : par exemple dans le troisième cas, la minoration vient du fait que modulo p^{r + 1}, toute puissance k^e est congrue à 0, 1 ou –1.

On sait aussi que^[15] pour tout entier k ≥ 1, G(k) ≥ k + 1 et l'on conjecture (par un argument de densité) qu'en l'absence de restrictions par des congruences, cette inégalité est en fait une égalité.

D'après les minorations ci-dessus, on a G(3) ≥ 4 et G(4) ≥ 16.

La majoration G(3) ≤ 7 a été démontrée en 1943 par Yuri Linnik^[16] et George Leo Watson en a donné une preuve bien plus élémentaire en 1951^[17]. Mais aucun nombre strictement compris entre 1 290 740 et 1,3.10⁹ ne nécessite plus de 5 cubes et quand N croît, le nombre d'entiers entre N et 2N nécessitant cinq cubes décroît à une vitesse qui incite à conjecturer que G(3) = 4^[18]. En 2000, le plus grand nombre connu qui n'est pas somme de quatre cubes est 7 373 170 279 850, avec des arguments indiquant que c'est probablement le plus grand dans l'absolu^[19].

Comme signalé plus haut, G(4) = 16. Plus précisément, tout entier strictement supérieur à 13 792 est somme de 16 puissances quatrièmes (Deshouillers, Hennecart et Landreau^[20] l'ont démontré jusqu'à 10²⁴⁵ et Kawada, Wooley et Deshouillers à partir de 10²²⁰).

Les majorants de la table ci-contre, pour k de 5 à 20, sont dus à Vaughan et Wooley^[21].

Vinogradov, à l'aide de sa version améliorée de la méthode de Hardy-Littlewood, publia de nombreux raffinements, arrivant en 1947 à^[15] G(k) ≤ k(3logk + 11) et finalement, en 1959, à G(k) ≤ 2k(logk + log logk + C log log logk) pour une constante C suffisamment grande, non explicitée.

Karatsuba, utilisant sa forme p-adique de la méthode de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov pour estimer certaines sommes trigonométriques (indexées par des nombres à petits diviseurs premiers), obtint une majoration plus précise^[22] : ${\displaystyle \forall k\geq 400,\quad G(k)<2k(\log k+\log \log k+6).}$ 

Il obtint par la suite^[23],[24] la généralisation 2-dimensionnelle suivante de ce problème :

Considérons un système d'équations de la forme ${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,1,\dots ,n,}$  où les entiers naturels N_i tendent vers l'infini à la même vitesse. Il existe deux constantes c₀, c₁ telles que :

• si k > c₀n²logn, un tel système a toujours des solutions (x₁, … , x_k, y₁, … , y_k) ∈ ℕ^2k ;
• si k < c₁n², il existe des N_i pour lesquels il n'en a pas.

Des raffinements mineurs ont été obtenus en 1989 par Vaughan.

Wooley a ensuite établi^[25] l'existence d'une constante C telle que ${\displaystyle G(k)\leq k(\log k+\log \log k+C).}$ 

Vaughan et Wooley ont écrit un article de synthèse complet sur le problème de Waring^[21].

• (en) W. J. Ellison, « Waring's problem », Amer. Math. Month., vol. 78,‎ 1971, p. 10-36 (lire en ligne)
  Exposé, contenant une formule précise pour g(k), une version simplifiée de la preuve de Hilbert et de nombreuses références.
• G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], particulièrement les chapitres 20 (« Représentation d'un nombre par deux ou quatre carrés ») et 21 (« Représentation par des cubes ou des puissances plus élevées »).

• Base additive
• Problème de Waring-Goldbach (en)
• Théorème d'Erdős-Suranyi
• Problème des quatre cubes
• Somme de trois cubes d'entiers relatifs
• Théorème des nombres polygonaux de Fermat

•   Arithmétique et théorie des nombres