Fonction zêta de Hurwitz

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\operatorname {\Gamma } (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\operatorname {e} ^{-tq}}{1-\operatorname {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t}$ ,

où Γ désigne la fonction Gamma^[1].

La fonction ${\displaystyle \zeta (\cdot ,q)}$  s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1, simple, avec un résidu égal à 1^[2].

Son développement de Laurent en ce pôle est

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)(s-1)^{n}}$ 

où les coefficients

${\displaystyle \gamma _{n}(q)=\lim _{N\to \infty }\left\{\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {\ln ^{n}(k+q)}{k+q}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right\},\qquad n\in \mathbb {N} }$ ^[3]

sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles ${\displaystyle \gamma _{n}(1)}$  correspondent à la fonction zêta de Riemann).

La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite^[4] :

${\displaystyle \gamma _{n}(q)=\left({\frac {1}{2q}}-{\frac {\ln q}{n+1}}\right)\ln ^{n}q-\mathrm {i} \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\operatorname {e} ^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {\ln ^{n}(q-\mathrm {i} x)}{q-\mathrm {i} x}}-{\frac {\ln ^{n}(q+\mathrm {i} x)}{q+\mathrm {i} x}}\right\}}$ .

La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma^[4] :

${\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)=-{\frac {\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}}$ .

La formule de Hurwitz^[3],[5] est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s) > 0, ainsi que pour q = 1 et Re(s) > 1 :

${\displaystyle \zeta (1-s,q)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left[{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi s/2}F(q,s)+{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi s/2}F(-q,s)\right]}$ 

où

${\displaystyle F(q,s):=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi {\rm {i}}kq)}{k^{s}}}={\mbox{Li}}_{s}({\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}q})}$ ,

Li_s étant la fonction polylogarithme.

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers ${\displaystyle 1\leq m\leq n,}$ 

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)}$ 

reste valable pour toutes les valeurs de s.

La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q)}$ .

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)}$ .

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.

Puisque, avec la notion F introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour ${\displaystyle 0<x<1}$  et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ ) :

${\displaystyle B_{n}(x)=-n{\frac {\Gamma (n)}{(2\pi )^{n}}}\left((-\mathrm {i} )^{n}F(x,n)+\mathrm {i} ^{n}F(-x,n)\right)}$ ,

la formule de Hurwitz donne (pour 0 < x < 1 et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ) :

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}}$ ^[6].

En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires de ζ(s,q) où q = k/Q et k = 1, 2, ..., Q.

Plus précisément, soit χ un caractère de Dirichlet mod Q. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{Q^{s}}}\sum _{k=1}^{Q}\chi (k)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{Q}}\right)}$ .

Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible ${\displaystyle k/Q\in \left]0,1\right]}$  :

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {k}{Q}}\right)={\frac {Q^{s}}{\varphi (Q)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(k)L(s,\chi )}$ ,

la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet mod Q.

La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)}$ .

La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$ 

et ainsi

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q)}$ .

Si ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$  est la fonction thêta de Jacobi, alors

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,{\rm {i}}t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$ 

reste valable pour Re s > 0 et z complexe non entier.

Pour z = n un entier, ceci se simplifie en

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,{\rm {i}}t)-1\right]t^{s/2}{\frac {{\rm {d}}t}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$ 

où ζ est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque t → 0.

La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).

Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing

• (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976 (lire en ligne), chap. 12
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 6.4.10
• (en) Djurdje Cvijovic et Jacek Klinowski, « Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments », Math. Comp., vol. 68,‎ 1999, p. 1623-1630 (lire en ligne)

(en) Eric W. Weisstein, « Hurwitz Zeta Function », sur MathWorld

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