Sommation/Sommation double

**Sommation double**
Leçon : Sommation

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Changement d'indice
Chap. suiv. :	Formule du binôme
Exercices :	Sommation double

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Sommation : Sommation double
Sommation/Sommation double », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition de la sommation double.

Jusqu'à maintenant, nous avons vu des sommations sur des termes dépendant d'un entier que l’on a appelé indice.

$\sum _{i=0}^{n}u_{i}=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}$

Mais on peut aussi bien avoir des sommations sur des termes dépendant de deux indices :

$\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}u_{i,j}=u_{0,0}+u_{0,1}+u_{1,0}+\cdots +u_{n,m}$

Ou même de trois indices :

$\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{p}u_{i,j,k}=u_{0,0,0}+\cdots +u_{n,m,p}$

Définition

Soient n et m deux entiers et (u_i,j)_{0≤i≤n,0≤j≤m} une suite double de nombres réels. La somme des termes de cette suite se notera :

${\begin{aligned}u_{0,0}+u_{0,1}+\cdots +u_{0,m}+&u_{1,0}+u_{1,1}+\cdots +u_{1,m}+\cdots \cdots +u_{n,0}+u_{n,1}+\cdots +u_{n,m}\\&=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}u_{i,j}=\sum _{0\leqslant i\leqslant n,0\leqslant j\leqslant m}u_{i,j}=\sum _{i\in [\![0;n],j\in [\![0;m]\!]}u_{i,j}\end{aligned}}$

(Définition similaire pour les sommations triples)

Remarque

Nous devons préciser que des aménagements particuliers peuvent apparaître. Par exemple la valeur m peut dépendre de i:

$\sum _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{i}u_{i,j}=u_{0,0}+u_{1,0}+u_{1,1}+u_{2,0}+u_{2,1}+u_{2,2}+u_{3,0}+u_{3,1}+u_{3,2}+u_{3,3}$

Les indices peuvent ne pas partir de 0 :

$\sum _{i=2}^{3}\sum _{j=1}^{i}u_{i,j}=u_{2,1}+u_{2,2}+u_{3,1}+u_{3,2}+u_{3,3}$

Les indices peuvent démarrer d'une valeur dépendant d'un autre indice :

$\sum _{i=0}^{2}\sum _{j=i}^{3}u_{i,j}=u_{0,0}+u_{0,1}+u_{0,2}+u_{0,3}+u_{1,1}+u_{1,2}+u_{1,3}+u_{2,2}+u_{2,3}$

Inversion de somme.

Pour réaliser ce que l’on appelle une inversion de somme, deux méthodes se font concurrence. Une des méthodes consiste à représenter les termes de la somme dans un tableau pour voir comment se comportent les indices lorsque l’on inverse les sommes. Une autre méthode consiste à raisonner sur des inégalités concernant les indices.

Dans tout ce paragraphe n et m désignent des entiers naturels et peuvent éventuellement aussi désigner le symbole +∞.

Premier exemple

Soit, par exemple, la somme :

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}u_{i,j}$

Nous représenterons les termes dans un tableau comme celui que nous avons ci-contre. Les cases colorées en orange représentent les cases contenant un terme de la somme.

Tous les termes de cette somme seront supposés placés dans le tableau ci-contre. Le terme u_i,j étant placé à l'intersection de la colonne d'abscisse i et de la rangée d'ordonnée j.

Dans notre exemple, toutes les cases sont colorées car pour toutes valeurs de i et j entre 1 et n, le terme u_i,j est un terme de la somme.

Supposons que l’on veuille calculer la somme :

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}u_{i,j}$

On commence par se mettre sur la colonne correspondant à i = 1 et on somme toutes les cases de cette colonne en commençant par la case du bas correspondant à j = 1. Une fois les éléments de la colonne i = 1 sommées, on passe à la colonne i =2 et on somme les cases à partir de la case j = 1. Et ainsi de suite jusqu'à la colonne i = n.

Supposons maintenant que l’on veuille calculer la somme :

$\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}u_{i,j}$

On commence par se mettre sur la rangée correspondante à j = 1 et on somme toutes les cases de cette rangée en commençant par la case de gauche correspondante à i = 1. Une fois les éléments de la colonne j = 1 sommés, on passe à la rangée j = 2 et on somme les cases à partir de la case i = 1. Et ainsi de suite jusqu'à la rangée j = n.

Il est évident que dans les deux sommations précédentes, nous avons, en fait, sommé les mêmes éléments et ceci nous montre que nous avons simplement :

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}u_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}u_{i,j}$

Et nous avons réalisé là notre première inversion de somme.

Essayons maintenant de raisonner sur des inégalités. Le domaine d'indice sur lequel s'effectue la sommation s'écrit :

${\begin{cases}1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant n\end{cases}}$

qui peut aussi bien s'écrire :

${\begin{cases}1\leqslant j\leqslant n\\1\leqslant i\leqslant n\end{cases}}$

et l'inversion de somme ne pose pas de problème

Deuxième exemple

Nous allons voir maintenant une inversion de somme moins évidente à réaliser. Soit la somme :

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}u_{i,j}$

Dans cette somme, nous voyons que pour une certaine valeur de i, les valeurs de j ne vont pas de 1 jusqu'à n mais s'arrêtent à i. Dans le tableau, cela se traduira par le fait que la colonne pour une certaine valeur de i ne sera pas colorée jusqu'en haut, mais s'arrêtera à la case d'ordonnée i.

Si nous voulons inverser la somme, c'est-à-dire mettre la somme concernant les indices j en premier, il nous faut observer ce qui se passe pour une rangée correspondant à une certaine valeur de j. Cette fois, nous voyons que si l’on parcourt toutes les cases de l'abscisse 0 à l'abscisse n, les premières cases ne sont pas colorées et commencent seulement à être colorées à partir de l'abscisse j. La sommation s'écrira donc :

$\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=j}^{n}u_{i,j}$

Bien sûr, que l’on somme en colonne ou en rangée, nous devons obtenir le même résultat, nous avons donc :

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}u_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=j}^{n}u_{i,j}$

Essayons maintenant de raisonner sur des inégalités. Le domaine d'indice sur lequel s'effectue la sommation s'écrit :

${\begin{cases}1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant i\end{cases}}$

Si i peut aller jusqu'à n, alors j pourra aussi atteindre la valeur n. Mais comme i ne peut pas être plus petit que j, le système pourra alors s'écrire :

${\begin{cases}1\leqslant j\leqslant n\\j\leqslant i\leqslant n\end{cases}}$

D'où l’on déduit l'inversion de somme :

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}u_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=j}^{n}u_{i,j}$

On aurait pu aussi remarquer que les deux systèmes d'inéquations pouvaient s'écrire sous la forme plus simple :

$1\leqslant j\leqslant i\leqslant n$

Troisième exemple

Dans ce troisième exemple, nous allons essayer de compliquer un peu plus les choses. Soient n et m deux entiers naturels tels que m > n, et considérons la somme :

$\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=i}^{m}u_{i,j}$

Dans cette somme, nous voyons que pour une certaine valeur de i, si l’on considère les valeurs croissantes de j, la colonne n’est pas colorée au départ et ne sera colorée que lorsque j prendra la valeur i. De plus les valeurs de j ne s’arrêteront pas à la valeur n mais iront jusqu'à la valeur m qui est supérieure à n. Nous obtenons donc un tableau plus haut que large.

Si nous voulons inverser la somme, c'est-à-dire mettre la somme concernant les indices j en premier, il nous faut observer ce qui se passe pour une rangée correspondant à une certaine valeur de j. Cette fois, nous voyons que si l’on parcourt toutes les cases de l'abscisse 0 à l'abscisse n, les premières cases sont colorées et ensuite ne sont plus colorées jusqu'à l'abscisse j si j < n ou reste colorée jusqu'à la fin de la rangée si j > n. La sommation pourra donc se noter :

$\sum _{j=0}^{m}\sum _{i=0}^{min(j,n)}u_{i,j}$

Les deux sommations portant sur les mêmes termes, nous aurons alors :

$\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=i}^{m}u_{i,j}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{i=0}^{min(j,n)}u_{i,j}$

Pour la commodité du calcul et pour éviter de faire apparaître l’expression min(i,j), nous pouvons observer que la somme du second membre peut aussi s'écrire :

$\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=i}^{m}u_{i,j}=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}u_{i,j}+\sum _{j=n+1}^{m}\sum _{i=0}^{n}u_{i,j}$

Nous avons simplement décomposé la somme du second membre en deux sommes selon les valeurs relatives de j et n.

Essayons maintenant de raisonner sur des inégalités. Le domaine d'indice sur lequel s'effectue la sommation s'écrit :

${\begin{cases}0\leqslant i\leqslant n\\i\leqslant j\leqslant m\\n\leqslant m\end{cases}}$

Ici le raisonnement est plus compliqué. Comme i peut être égal à 0, j peut aussi être égal à 0. De plus, on voit que j peut aller jusqu'à m. Pour i, c’est plus compliqué ! On voit que i part de 0, mais il ne pourra aller jusqu'à n que lorsque j sera plus grand que n ; dans le cas contraire, il s'arrêtera à j : i ira donc jusqu'au plus petit des nombres j ou n. Le système est donc équivalent à :

${\begin{cases}0\leqslant j\leqslant m\\0\leqslant i\leqslant min(j,n)\\n\leqslant m\end{cases}}$

On voit que ce cas se prête mal à un raisonnement sur des inégalités. Le risque d'erreur est élevé. On préférera donc raisonner sur un tableau. Si le raisonnement sur des inégalités est imposé, on fera, en parallèle et discrètement, un raisonnement sur tableau au brouillon pour éviter les erreurs

Sommation

Changement d'indice

Formule du binôme