En physique , et plus particulièrement en thermodynamique , la relation de Mayer , établie au XIX e siècle par Julius Robert von Mayer , est une formule liant les capacités thermiques à pression constante (isobare) et à volume constant (isochore) d'un gaz parfait . Elle s'exprime selon :
Relation de Mayer :
C
P
−
C
V
=
n
R
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}
avec :
Cette relation est généralisée aux corps réels selon :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
avec :
P
{\displaystyle P}
la pression ;
T
{\displaystyle T}
la température ;
V
{\displaystyle V}
le volume ;
n
{\displaystyle n}
la quantité de matière.
On considère un système thermodynamique constitué d'une seule phase . Ce système peut être un corps pur ou un mélange constitué de
N
{\displaystyle N}
espèces chimiques
i
{\displaystyle i}
différentes.
La pression
P
{\displaystyle P}
, le volume
V
{\displaystyle V}
, la température
T
{\displaystyle T}
et les quantités de matière
n
i
{\displaystyle n_{i}}
sont liées de façon univoque par l'équation d'état du système, c'est-à-dire la fonction
V
=
V
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle V=V\!\left(P,T,n\right)}
. Si l'on connait les variables
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(P,T,n\right)}
on connait donc
V
{\displaystyle V}
. Réciproquement, si l'on connait
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(V,T,n\right)}
on connait
P
{\displaystyle P}
. L'entropie
S
{\displaystyle S}
du système peut ainsi être considérée indifféremment comme une fonction de
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(P,T,n\right)}
ou de
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(V,T,n\right)}
, soit, indifféremment :
S
=
S
(
P
,
T
,
n
)
=
S
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(P,T,n\right)=S\!\left(V,T,n\right)}
. On peut écrire les différentielles :
du volume en tant que fonction
V
=
V
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle V=V\!\left(P,T,n\right)}
:
d
V
=
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
V
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle \mathrm {d} V=\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
de l'entropie en tant que fonction
S
=
S
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(P,T,n\right)}
:
d
S
1
=
(
∂
S
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle \mathrm {d} S_{1}=\left({\partial S \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
de l'entropie en tant que fonction
S
=
S
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(V,T,n\right)}
:
d
S
2
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
d
V
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle \mathrm {d} S_{2}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} V+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
Puisque l'on a indifféremment
S
=
S
(
P
,
T
,
n
)
=
S
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(P,T,n\right)=S\!\left(V,T,n\right)}
, on a indifféremment pour la différentielle de l'entropie
d
S
=
d
S
1
=
d
S
2
{\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} S_{1}=\mathrm {d} S_{2}}
.
On substitue
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V}
dans la différentielle de l'entropie sous la forme
d
S
2
{\displaystyle \mathrm {d} S_{2}}
:
d
S
2
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
d
V
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
[
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
V
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
]
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
[
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
]
d
T
+
∑
i
=
1
N
[
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
+
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
]
d
n
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} S_{2}&=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} V+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}\\&=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left[\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}\right]+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}\\&=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left[\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\right]\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left[\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}+\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\right]\,\mathrm {d} n_{i}\end{aligned}}}
On retrouve donc une différentielle de l'entropie sous la forme
d
S
1
{\displaystyle \mathrm {d} S_{1}}
; on identifie le terme en
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} T}
, on obtient :
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}}
Démonstration par la dérivation en chaîne
Soit une fonction
f
{\displaystyle f}
de plusieurs variables
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
et
z
{\displaystyle z}
:
f
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f=f\!\left(x,y,z\right)}
. On suppose que la variable
x
{\displaystyle x}
est elle-même une fonction des variables
w
{\displaystyle w}
,
y
{\displaystyle y}
et
z
{\displaystyle z}
:
x
=
x
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle x=x\!\left(w,y,z\right)}
. La fonction
f
{\displaystyle f}
peut donc s'écrire indifféremment selon :
f
=
f
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
x
(
w
,
y
,
z
)
,
y
,
z
)
=
f
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle f=f\!\left(x,y,z\right)=f\!\left(x\!\left(w,y,z\right),y,z\right)=f\!\left(w,y,z\right)}
.
Le théorème de dérivation des fonctions composées , ou règle de dérivation en chaîne, donne :
(
∂
f
(
w
,
y
,
z
)
∂
y
)
w
,
z
=
(
∂
f
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
)
y
,
z
(
∂
x
∂
y
)
w
,
z
+
(
∂
f
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
)
x
,
z
(
∂
y
∂
y
)
w
,
z
+
(
∂
f
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
)
x
,
y
(
∂
z
∂
y
)
w
,
z
{\displaystyle \left({\partial f\!\left(w,y,z\right) \over \partial y}\right)_{w,z}=\left({\partial f\!\left(x,y,z\right) \over \partial x}\right)_{y,z}\left({\partial x \over \partial y}\right)_{w,z}+\left({\partial f\!\left(x,y,z\right) \over \partial y}\right)_{x,z}\left({\partial y \over \partial y}\right)_{w,z}+\left({\partial f\!\left(x,y,z\right) \over \partial z}\right)_{x,y}\left({\partial z \over \partial y}\right)_{w,z}}
Or on a :
(
∂
y
∂
y
)
w
,
z
=
1
{\displaystyle \left({\partial y \over \partial y}\right)_{w,z}=1}
(
∂
z
∂
y
)
w
,
z
=
0
{\displaystyle \left({\partial z \over \partial y}\right)_{w,z}=0}
d'où :
(
∂
f
∂
y
)
w
,
z
=
(
∂
f
∂
x
)
y
,
z
(
∂
x
∂
y
)
w
,
z
+
(
∂
f
∂
y
)
x
,
z
{\displaystyle \left({\partial f \over \partial y}\right)_{w,z}=\left({\partial f \over \partial x}\right)_{y,z}\left({\partial x \over \partial y}\right)_{w,z}+\left({\partial f \over \partial y}\right)_{x,z}}
On pose :
La relation
x
=
x
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle x=x\!\left(w,y,z\right)}
, soit
V
=
V
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle V=V\!\left(P,T,n\right)}
, est l'équation d'état du système. On a pour l'entropie
f
=
f
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle f=f\!\left(x,y,z\right)=f\!\left(w,y,z\right)}
, soit
S
=
S
(
V
,
T
,
n
)
=
S
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(V,T,n\right)=S\!\left(P,T,n\right)}
.
La dérivation en chaîne donne :
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}}
Les capacités thermiques sont définies par :
C
P
=
T
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}}
C
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle C_{V}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}}
que l'on introduit dans la relation obtenue précédemment :
C
P
T
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
C
V
T
{\displaystyle {C_{P} \over T}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+{C_{V} \over T}}
En considérant la relation de Maxwell :
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
=
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}=\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}
en réarrangeant la relation obtenue précédemment il vient la relation de Mayer générale :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
Pour un gaz parfait , d'équation d'état :
P
V
=
n
R
T
{\displaystyle PV=nRT}
où
n
{\displaystyle n}
est le nombre de moles du gaz et
R
{\displaystyle R}
la constante des gaz parfaits , on obtient immédiatement :
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
=
n
R
V
{\displaystyle \left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}={nR \over V}}
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
n
R
P
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}={nR \over P}}
d'où :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
T
(
n
R
)
2
P
V
=
T
(
n
R
)
2
n
R
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}=T{\left(nR\right)^{2} \over PV}=T{\left(nR\right)^{2} \over nRT}}
et finalement :
Relation de Mayer :
C
P
−
C
V
=
n
R
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}
Démonstration directe pour un gaz parfait
Un gaz parfait suit les deux lois de Joule , ce qui implique pour son énergie interne
U
{\displaystyle U}
et son enthalpie
H
{\displaystyle H}
, à quantité de matière constante :
d
U
=
C
V
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T}
d
H
=
C
P
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} H=C_{P}\,\mathrm {d} T}
Étant donné la définition de l'enthalpie
H
=
U
+
P
V
{\displaystyle H=U+PV}
, on peut écrire :
d
H
−
d
U
=
d
[
P
V
]
=
[
C
P
−
C
V
]
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} H-\mathrm {d} U=\mathrm {d} \left[PV\right]=\left[C_{P}-C_{V}\right]\,\mathrm {d} T}
Étant donné l'équation d'état des gaz parfaits
P
V
=
n
R
T
{\displaystyle PV=nRT}
, on peut écrire, à quantité de matière constante :
d
[
P
V
]
=
d
[
n
R
T
]
=
n
R
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} \left[PV\right]=\mathrm {d} \left[nRT\right]=nR\,\mathrm {d} T}
On obtient donc :
d
[
P
V
]
=
[
C
P
−
C
V
]
d
T
=
n
R
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} \left[PV\right]=\left[C_{P}-C_{V}\right]\,\mathrm {d} T=nR\,\mathrm {d} T}
et par conséquent la relation de Mayer :
C
P
−
C
V
=
n
R
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}
En utilisant les propriétés des dérivées partielles, on peut réécrire la relation de Mayer générale en :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
−
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
2
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=-T{\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
Ceci provient immédiatement de la relation :
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
(
∂
T
∂
P
)
V
,
n
(
∂
P
∂
V
)
T
,
n
=
−
1
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\left({\partial T \over \partial P}\right)_{V,n}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{T,n}=-1}
dont on déduit que :
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
−
1
(
∂
T
∂
P
)
V
,
n
(
∂
P
∂
V
)
T
,
n
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}={-1 \over \left({\partial T \over \partial P}\right)_{V,n}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{T,n}}}
Utilisant ensuite la relation :
1
(
∂
x
∂
y
)
z
=
(
∂
y
∂
x
)
z
{\displaystyle {1 \over \left({\partial x \over \partial y}\right)_{z}}=\left({\partial y \over \partial x}\right)_{z}}
pour les deux quantités du dénominateur, on obtient :
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
−
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}=-\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
La nouvelle forme de la relation de Mayer se déduit en remplaçant le membre de droite de la première forme démontrée précédemment.
D'autres écritures sont également possibles avec les coefficients thermoélastiques :
α
=
1
V
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle \alpha ={1 \over V}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
le coefficient de dilatation isobare (pour un gaz parfait
α
=
1
T
{\displaystyle \alpha ={1 \over T}}
) ;
β
=
1
P
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \beta ={1 \over P}\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}
le coefficient de compression isochore (pour un gaz parfait
β
=
1
T
{\displaystyle \beta ={1 \over T}}
) ;
χ
T
=
−
1
V
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
le coefficient de compressibilité isotherme (pour un gaz parfait
χ
T
=
1
P
{\displaystyle \chi _{T}={1 \over P}}
).
Avec la première forme générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
on obtient :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
P
β
V
α
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=TP\beta V\alpha }
Avec la deuxième forme générale:
C
P
−
C
V
=
−
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
2
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=-T{\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
on obtient :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
P
β
)
2
V
χ
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left(P\beta \right)^{2}V\chi _{T}}
On passe d'une forme à l'autre en considérant la relation :
α
=
P
β
χ
T
{\displaystyle \alpha =P\beta \chi _{T}}
. On peut encore écrire :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
V
α
2
χ
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T{V\alpha ^{2} \over \chi _{T}}}
En introduisant les capacités thermiques molaires respectives, telles que :
C
P
=
n
⋅
C
¯
P
{\displaystyle C_{P}=n\cdot {\bar {C}}_{P}}
C
V
=
n
⋅
C
¯
V
{\displaystyle C_{V}=n\cdot {\bar {C}}_{V}}
on obtient la forme :
Relation de Mayer :
C
¯
P
−
C
¯
V
=
R
{\displaystyle {\bar {C}}_{P}-{\bar {C}}_{V}=R}
Pour une masse
m
{\displaystyle m}
, en introduisant les capacités thermiques massiques respectives, telles que :
C
P
=
m
⋅
c
P
{\displaystyle C_{P}=m\cdot c_{P}}
C
V
=
m
⋅
c
V
{\displaystyle C_{V}=m\cdot c_{V}}
on obtient la forme :
Relation de Mayer :
c
P
−
c
V
=
R
M
=
R
s
{\displaystyle c_{P}-c_{V}={R \over M}=R_{s}}
avec :
Le deuxième principe de la thermodynamique implique qu'un corps (pur ou mélange) ne peut être stable que si
χ
T
>
0
{\displaystyle \chi _{T}>0}
(voir l'article Compressibilité ). La relation
C
P
−
C
V
=
T
(
P
β
)
2
V
χ
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left(P\beta \right)^{2}V\chi _{T}}
induit donc que :
C
P
>
C
V
{\displaystyle C_{P}>C_{V}}
Ceci implique pour le coefficient de Laplace
γ
{\displaystyle \gamma }
que :
Coefficient de Laplace :
γ
=
C
P
C
V
>
1
{\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}>1}
Le coefficient de Laplace peut être déterminé à l'aide de la relation de Reech . On peut ainsi calculer les capacités thermiques, en application des relations de Mayer et de Reech, selon :
C
P
=
γ
T
P
β
V
α
γ
−
1
{\displaystyle C_{P}=\gamma {TP\beta V\alpha \over \gamma -1}}
C
V
=
T
P
β
V
α
γ
−
1
{\displaystyle C_{V}={TP\beta V\alpha \over \gamma -1}}
La relation de Mayer permet en particulier de calculer
C
V
{\displaystyle C_{V}}
connaissant
C
P
{\displaystyle C_{P}}
pour les liquides et les solides. En effet, pour les phases condensées
C
V
{\displaystyle C_{V}}
est difficile à obtenir expérimentalement, car il est difficile de travailler à volume constant avec ces phases, alors que la détermination de
C
P
{\displaystyle C_{P}}
, qui nécessite de travailler à pression constante, ne pose pas de problème.
Cette relation est également utilisée pour calculer les fluctuations statistiques d'énergie dans une portion de gaz parfait.[Quoi ?] [réf. nécessaire]
Dans le cas d'une phase condensée (liquide ou solide ), il peut être considéré que :
la phase est quasiment indilatable, son volume varie peu lors d'un changement de température :
(
∂
V
∂
T
)
P
≈
0
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P}\approx 0}
, soit
α
≈
0
{\displaystyle \alpha \approx 0}
;
la phase est quasiment incompressible, son volume varie peu lors d'un changement de pression :
(
∂
V
∂
P
)
T
≈
0
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}\approx 0}
, soit
χ
T
≈
0
{\displaystyle \chi _{T}\approx 0}
.
Pour une phase idéalement indilatable (
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
) ou incompressible (
χ
T
=
0
{\displaystyle \chi _{T}=0}
), la relation de Mayer conduit à la relation :
C
P
−
C
V
=
0
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=0}
[ 1] , [ 2] , [ 3] . Les bases de données ne donnent pour les liquides et les solides, considérés comme idéalement indilatables et incompressibles, qu'une seule capacité thermique molaire :
Pour un corps idéalement indilatable ou incompressible :
C
¯
=
C
¯
P
=
C
¯
V
{\displaystyle {\bar {C}}={\bar {C}}_{P}={\bar {C}}_{V}}
↑ Lucien Borel et Daniel Favrat, Thermodynamique et énergétique , Lausanne, Presses polytechniques romandes, 2005 , 814 p. (ISBN 978-2-88074-545-5 , OCLC 891442864 , lire en ligne ) , p. 288 .
↑ Réseau NUMELIPhy, Entropie et phénomènes irréversibles, Variation d'entropie d'un corps idéalement incompressible .
↑ Éléments de thermodynamique et thermique , Frédéric Doumenc, Université Paris VI – Licence de mécanique, p. 46.
Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique , 1996 [détail de l’édition ] , page 753 et 754.
Jean-Pierre Corriou, « Thermodynamique chimique - Définitions et relations fondamentales », Techniques de l'ingénieur , base documentaire : Thermodynamique et cinétique chimique , pack : Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique , univers : Procédés chimie - bio - agro , J 1025, pp. 1-19, 1984.
Physique -tout le cours en fiches, Licence, CAPES, Prépas- Laurent Gautron, Christophe Balland, Laurent Cirio, Richard Mauduit, Odile Picon, Eric Wenner, Fiche 67 - Les coefficients calorimétriques p. 166, éd. Dunod, 2015, (ISBN 978-2-10-072891-6 ) .
Cours de thermodynamique , Olivier Perrot, I.U.T. de Saint-Omer Dunkerque, Département Génie Thermique et énergie, p. 25 et p. 32.