Smash-produit

En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, le smash-produit X∧Y de deux espaces topologiques pointés (X, x₀) et (Y, y₀) est le quotient du produit X × Y par les identifications (x, y₀) ∼ (x₀, y), pour tout x ∈ X et tout y ∈ Y. Cet espace dépend du pointage (sauf si X et Y sont homogènes).

Les espaces X et Y sont plongés dans X × Y par identification aux sous-espaces X × {y₀} et {x₀} × Y, qui s'intersectent en un seul point : (x₀, y₀), le point base de X × Y. La réunion de ces deux sous-espaces est donc homéomorphe au wedge X∨Y, ce qui permet d'écrire le smash-produit comme le quotient suivant :

${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).}$

Le smash-produit a d'importantes applications en théorie de l'homotopie, où l'on travaille souvent avec des sous-catégories de la catégorie des espaces topologiques, ce qui conduit à modifier légèrement la définition. Par exemple dans la sous-catégorie des CW-complexes on remplace, dans la définition, le produit d'espaces topologiques par le produit de CW-complexes.

Le smash-produit de tout espace pointé X avec une n-sphère est homéomorphe à la suspension réduite de X itérée n fois :

${\displaystyle X\wedge S^{n}=\Sigma ^{n}X.}$

Par exemple : X∧S⁰ =X, X∧S¹ = ΣX et S^m∧Sⁿ = ΣⁿS^m = S^{m + n}, en particulier S¹∧S¹ = ΣS¹ = S² est un quotient du tore T².

Pour tous espaces pointés X, Y et Z d'une sous-catégorie « appropriée », comme celle des espaces compactement engendrés, on a des homéomorphismes naturels (préservant le point base) :

${\displaystyle X\wedge Y\simeq Y\wedge X\quad {\text{et}}\quad (X\wedge Y)\wedge Z\simeq X\wedge (Y\wedge Z),}$

qui font d'une telle sous-catégorie une catégorie monoïdale symétrique, avec le smash-produit comme produit monoïdal et la 0-sphère pointée (l'espace discret à deux éléments) comme objet unité.

La catégorie naïve des espaces pointés, qui n'est pas cartésienne fermée, n'est pas monoïdale^[1] : (ℚ∧ℚ)∧ℕ ≄ ℚ∧(ℚ∧ℕ)^[2].

Le smash-produit joue, dans la catégorie des espaces pointés, le même rôle que le produit tensoriel dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif. En particulier si A est localement compact, le foncteur (–∧A) est adjoint à gauche du foncteur Hom(A, –) :

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\wedge A,Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)),}$

où Hom(A,Y) est l'espace des morphismes d'espaces pointés, muni de la topologie compacte-ouverte.

En prenant pour A le cercle unité S¹, on obtient que le foncteur suspension réduite Σ est adjoint à gauche du foncteur espace des lacets Ω :

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\Omega Y).}$

• (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Smash product » (voir la liste des auteurs).

• Bouquet (mathématiques)
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• Théorème de suspension de Freudenthal

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