Nombre bicomplexe

En mathématiques, les nombres bicomplexes sont les nombres multicomplexes de symbole ${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$. C’est un nombre écrit sous la forme a + b i₁ + c i₂ + d j, où i₁, i₂ et j sont des unités imaginaires qui commutent et où j = i₁ i₂ vérifie j² = i2
1 i2
2 = 1. Basé sur les règles de la multiplication des unités imaginaires, si A = a + b i₁ et B = c + d i₁, alors le nombre bicomplexe peut être écrit A + B i₂ : les nombres bicomplexes sont similaires aux nombres complexes, mais les parties réelles de leur forme cartésienne sont complexes plutôt que réelles. Les nombres bicomplexes se réduisent aux nombres complexes lorsque A et B sont des nombres réels.

L'ensemble de tous les nombres bicomplexes possède une algèbre associative, commutative et unifère sur les nombres complexes, isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$, donc un anneau commutatif (avec identité) ; la multiplication des nombres bicomplexes est à la fois commutative et associative et est distributive sur l'addition. Étant donné ceci et les règles pour la multiplication des unités imaginaires, deux nombres bicomplexes quelconques peuvent être multipliés. La multiplication des unités imaginaires est donnée par :

${\displaystyle \mathrm {i} _{1}^{2}=-1\ ,\ \mathrm {i} _{2}^{2}=-1\ ,\ \mathrm {i} _{1}\cdot \mathrm {i} _{2}=\mathrm {j} .}$

On déduit de la commutativité et de l'associativité que :

${\displaystyle \mathrm {j} ^{2}\,=1\ ,\ \mathrm {i} _{1}\cdot \mathrm {j} =-\mathrm {i} _{2}\ ,\ \mathrm {i} _{2}\cdot \mathrm {j} =-\mathrm {i} _{1}.}$

Les propriétés d’associativité et de commutativité permettent de déduire le reste de la table de multiplication de cette algèbre, à savoir :

La division n'est pas définie pour certains nombres complexes, puisque certains sont diviseurs de zéro ; autrement dit, les bicomplexes ne forment pas un anneau sans diviseur de zéro, et donc pas un anneau à division. Comme exemples de diviseurs de zéros : 1 + j et i₁ + i₂ vérifient (1 + j)(i₁+ i₂) = 0.

Parmi les extensions des nombres complexes à des espaces vectoriels à quatre dimensions sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, les bicomplexes se distinguent des quaternions en « sacrifiant » l'existence des inverses et l'intégrité au profit de la commutativité de la multiplication.

L'algèbre des bicomplexes est isomorphe à celle des tessarines. Elles ont néanmoins été découvertes par des procédés différents.

• Nombre hypercomplexe
• Tessarine
• Nombre multicomplexe (Segre)
• Quaternion

• G. Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker Inc., New York, 1991
• Dominic Rochon, A Bloch Constant for Hyperholomorphic Functions1 June, 2000

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅ Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} \!\!\!\!\diagdown }$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {B} \!\!\!\!\diagdown }$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley-Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} \!\!\!\!\diagdown }$ 16D Sédénion 𝕊
Sur ℤ	2D Entier de Gauss ℤ[i] Entier d'Eisenstein ℤ[j] 4D Quaternions de Hurwitz ${\displaystyle \scriptstyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

• Arithmétique et théorie des nombres