Orthoptique

En géométrie, une orthoptique est l'ensemble des points pour lesquels deux tangentes d'une courbe donnée se rencontrent à angle droit.

Plus généralement, une isoptique est l'ensemble des points pour lesquels deux tangentes d'une courbe donnée se rencontrent selon un angle fixe.

Le théorème de Thalès sur une corde PQ peut être considéré comme l'orthoptique de deux cercles dégénérés aux deux points P et Q .

Toute parabole peut être transformée par un mouvement rigide (les angles ne sont pas modifiés) en une parabole d'équation ${\displaystyle y=ax^{2}}$. La pente en un point de cette parabole est ${\displaystyle m=2ax}$. Remplacer ${\displaystyle x}$ donne la représentation paramétrique de la parabole avec la pente tangente comme paramètre : ${\displaystyle \ ({\tfrac {m}{2a}},{\tfrac {m^{2}}{4a}})\;.}$ La tangente a pour équation ${\displaystyle y=mx+n}$ avec le paramètre encore inconnu ${\displaystyle n}$, qui peut être déterminé en insérant les coordonnées du point de la parabole. On obtient ${\displaystyle \ y=mx-{\tfrac {m^{2}}{4a}}\;.}$

Si une tangente contient le point (x₀, y₀), hors de la parabole, alors l'équation

${\displaystyle y_{0}=mx_{0}-{\frac {m^{2}}{4a}}\quad \rightarrow \quad m^{2}-4ax_{0}\;m+4ay_{0}=0}$

est vraie, qui admet deux solutions m₁ et m₂ correspondant aux deux tangentes passant par (x₀, y₀). Le terme constant d'une équation quadratique réduite est toujours le produit de ses solutions. Par conséquent, si les tangentes se rencontrent en (x₀, y₀) orthogonalement, les équations suivantes s'appliquent :

${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1=4ay_{0}}$

La dernière équation est équivalente à

${\displaystyle y_{0}=-{\frac {1}{4a}}\;,}$

qui est l'équation de la directrice.

Soit ${\textstyle \;E:\;{\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;}$ l'ellipse étudiée.

Les tangentes à l'ellipse ${\displaystyle E}$ aux sommets et les co-sommets se croisent aux 4 points ${\displaystyle (\pm a,\pm b)}$, qui se situent sur la courbe orthoptique désirée (le cercle ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$ ).

La tangente en un point ${\displaystyle (u,v)}$ de l'ellipse ${\displaystyle E}$ a l'équation ${\textstyle {\frac {u}{a^{2}}}x+{\frac {v}{b^{2}}}y=1}$ (voir tangente à une ellipse). Si le point n'est pas un sommet, cette équation peut être résolue pour y : ${\textstyle \ y=-{\frac {b^{2}u}{a^{2}v}}\;x\;+\;{\frac {b^{2}}{v}}\;.}$

En notant ${\textstyle (I)\;m=-{\frac {b^{2}u}{a^{2}v}},\;{\color {red}n={\frac {b^{2}}{v}}}\;}$ et l'équation ${\textstyle \;{\color {blue}{\frac {u^{2}}{a^{2}}}=1-{\tfrac {v^{2}}{b^{2}}}=1-{\tfrac {b^{2}}{n^{2}}}}\;}$ on obtient :

${\displaystyle m^{2}={\frac {b^{4}u^{2}}{a^{4}v^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}{\color {red}{\frac {b^{4}}{v^{2}}}}{\color {blue}{\frac {u^{2}}{a^{2}}}}={\frac {1}{a^{2}}}{\color {red}n^{2}}{\color {blue}\left(1-{\frac {b^{2}}{n^{2}}}\right)}={\frac {n^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\;.}$

Ainsi ${\displaystyle \ (II)\;n=\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}$ et l'équation d'une tangente non verticale est

${\displaystyle y=m\;x\;\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}.}$

La résolution de relations ${\displaystyle (I)}$ pour ${\displaystyle u,v}$ et en respectant ${\displaystyle (II)}$ conduit à la représentation paramétrique dépendant de la pente de l'ellipse :

${\displaystyle (u,v)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\;,\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right)\ .\ }$

Si une tangente contient le point ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, hors de l'ellipse, alors on a l'équation

${\displaystyle y_{0}=mx_{0}\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}$

L'élimination de la racine carrée conduit à

${\displaystyle m^{2}-{\frac {2x_{0}y_{0}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}m+{\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}=0,}$

qui a deux solutions ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ correspondant aux deux tangentes passant par ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Le terme constant d'une équation quadratique monique est toujours le produit de ses solutions. Donc, si les tangentes se rencontrent en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ orthogonalement, les équations suivantes sont vérifiées :

${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1={\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}}$

La dernière équation est équivalente à

${\displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=a^{2}+b^{2}\;.}$

Ainsi, les points d'intersection des tangentes orthogonales sont les points du cercle ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$, qu'on appelle cercle de Monge de l'ellipse.

Le cas de l'ellipse peut être adapté presque exactement au cas de l'hyperbole. Les seules modifications à apporter sont de remplacer ${\displaystyle b^{2}}$ par ${\displaystyle -b^{2}}$ et restreindre m à |m| > b/a

Dans ce cas, les points d'intersection des tangentes orthogonales sont les points du cercle ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$, où a > b.

Un astroïde peut être décrit par la représentation paramétrique

${\displaystyle {\vec {c}}(t)=\left(\cos ^{3}t,\sin ^{3}t\right),\quad 0\leq t<2\pi }$ .

De la condition

${\displaystyle {\vec {\dot {c}}}(t)\cdot {\vec {\dot {c}}}(t+\alpha )=0}$

on reconnaît la distance α dans l'espace des paramètres à laquelle apparaît une tangente orthogonale à ${\displaystyle {\vec {\dot {c}}}(t)}$. Il s'avère que la distance est indépendante du paramètre t, à savoir α = ± π/2

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-\tan t\left(x-\cos ^{3}t\right)+\sin ^{3}t,\\y&={\frac {1}{\tan t}}\left(x+\sin ^{3}t\right)+\cos ^{3}t.\end{aligned}}}$

Leur point commun a pour coordonnées :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t\cos t(\sin t-\cos t),\\y&=\sin t\cos t(\sin t+\cos t).\end{aligned}}}$

Il s'agit en même temps d'une représentation paramétrique de l'orthoptique.

L'élimination du paramètre t donne la représentation implicite

${\displaystyle 2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}=0.}$

En introduisant le nouveau paramètre φ = t − 5π/4, il vient

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi )\cos \varphi ,\\y&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi )\sin \varphi .\end{aligned}}}$

La preuve utilise les identités de somme et de différence d'angle. On obtient ainsi la représentation polaire de l'orthoptique :

${\displaystyle r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi ),\quad 0\leq \varphi <2\pi }$

Ainsi, l'orthoptique d'un astroïde est un quadrifolium.

• L'orthoptique d'une cardioide est, selon les paramètres de la courbe, un cercle ou un limaçon.
• L'orthoptique d'une deltoïde est un cercle.
• L'orthoptique d'une spirale logarithmique est une spirale logarithmique de même paramètre.

Ci-dessous, les isotopes pour les angles α ≠ 90° sont répertoriés. On les appelle α-isoptiques.

Parabole

Les α -isoptiques de la parabole d'équation y = ax² sont les branches de l'hyperbole

${\displaystyle x^{2}-\tan ^{2}\alpha \left(y+{\frac {1}{4a}}\right)^{2}-{\frac {y}{a}}=0.}$

Les branches de l'hyperbole fournissent les isoptiques pour les deux angles α et 180° − α (voir image).

Ellipse

L'α-isoptique de l'ellipse d'équation

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}\right)}$

Hyperbole

L'α-isoptique de l'hyperbole d'équation

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}+a^{2}b^{2}\right).}$

Pour visualiser les isoptiques, voir courbe implicite.

• Une isoptique d'une épicycloïde est une épitrochoïde
• Une isoptique d'une hypocycloïde est une hypotrochoïde
• Une isoptique d'une spirale sinusoïdale est une autre spirale sinusoïdale
• Une isoptique d'une cycloïde est une autre cycloïde, allongée ou raccourcie

• (en) Harold Hilton et R. E. Colomb, « On Orthoptic and Isoptic Loci », American Journal of Mathematics, vol. 39, n^o 1,‎ 1917, p. 86–94 (DOI 10.2307/2370445)
• (en) Waldemar Cieślak et Witold Mozgawa, « On curves with circles as their isoptics. », Aequat. Math., vol. 96,‎ 2022, p. 653–667 (DOI 10.1007/s00010-021-00828-4)

• Courbes planes spéciales.
• (en) Eric W. Weisstein, « Isoptic Curve », sur MathWorld
• Les courbes de Jan Wassenaar
• "Courbe isoptique" sur MathCurve
• "Courbe orthoptique" sur MathCurve

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Orthoptic (geometry) » (voir la liste des auteurs).
• J. Dennis Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, 1972, 58–59 (ISBN 0-486-60288-5, lire en ligne )
• Odehnal, « Equioptic Curves of Conic Sections », Journal for Geometry and Graphics, vol. 14, n^o 1,‎ 2010, p. 29–43 (lire en ligne)
• Hermann Schaal, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, vol. III, Vieweg, 1977 (ISBN 3-528-03058-5), p. 220
• Jacob Steiner, Vorlesungen über synthetische Geometrie, Leipzig, B. G. Teubner, 1867 (lire en ligne)
• Ternullo, « Two new sets of ellipse related concyclic points », Journal of Geometry, vol. 94, n^os 1–2,‎ 2009, p. 159–173 (DOI 10.1007/s00022-009-0005-7, S2CID 120011519)

v · m Transformations différentielles des courbes planes
Opération unaire	Développée Développante Courbe duale Courbe inverse Courbe parallèle Isoptique
Opération unaire définie par un point	Podaire Podaire négative (en) Courbe du chien Caustique
Opération unaire définie par deux points	Strophoïde
Opération binaire définie par un point	Roulette Cissoïde
Opérations sur une famille de courbes	Enveloppe

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