Formule genre-degré

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En géométrie algébrique, la formule genre - degré est une équation reliant le degré d d'une courbe plane irréductible ${\displaystyle C}$ avec son genre arithmétique g par la formule :

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

Ici « courbe plane » signifie que ${\displaystyle C}$ est une courbe fermée dans le plan projectif ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. Si la courbe est non singulière, le genre géométrique et le genre arithmétique sont égaux, mais si la courbe est singulière, avec seulement des singularités ordinaires, le genre géométrique a priori est plus petit. Plus précisément, une singularité ordinaire de multiplicité r diminue le genre de ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$^[1].

Pour une hypersurface non singulière ${\displaystyle H}$ de degré d dans le plan projectif ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ de genre arithmétique g la formule devient :

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

où ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$ est le coefficient binomial.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Genus–degree formula » (voir la liste des auteurs).

• Conjecture de Thom (en)

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