Fonction êta de Dirichlet

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La fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée dans la théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par :

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$

où ζ est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1–2^1–s. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par :

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}}$, d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée.

Tandis que ceci est convergent seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1, et peut-être aussi des pôles aux autres zéros du facteur 1–2^1–s.

De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir :

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}~\mathrm {d} x}$

qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin.

Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est :

${\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1)}$ .

Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un caractère de Dirichlet).

Peter Borwein a utilisé des approximations impliquant les polynômes de Tchebychev pour concevoir une méthode pour une évaluation efficace de la fonction êta.

Pour un entier n, si :

${\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!\,4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}$,

alors :

${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$

où, pour ${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$, le terme d'erreur γ_n est majoré par :

${\displaystyle \gamma _{n}(s)\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|t|)e^{|t|\pi /2}}$

avec ${\displaystyle t=\Im (s)\,}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirichlet eta function » (voir la liste des auteurs).

• (en) P. Borwein, « An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function », Canadian Mathematcial Society Conference Proceedings, vol. 27,‎ 2000, p. 29-34 (lire en ligne)

• (en) Eric W. Weisstein, « Dirichlet Eta Function », sur MathWorld

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