Espace tensoriel

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Soit E un module sur un anneau commutatif unitaire A. On appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant sur E tout élément du produit tensoriel ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}}$, où ${\displaystyle E^{*}}$ est le module dual de E.

Soit u un automorphisme du A-module E, ${\displaystyle {}^{t}u}$ est le morphisme contragrédient de ${\displaystyle E^{*}}$, c'est-à-dire l'automorphisme défini par ${\displaystyle {}^{t}u(\varphi )=\varphi \circ u}$. On peut définir une action du groupe linéaire GL(E) sur ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}}$ par :

${\displaystyle {\begin{matrix}u\cdot x=&\underbrace {(u\otimes \cdots \otimes u} &\otimes &\underbrace {{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)} (x)\\&p&&q\end{matrix}}}$

On appelle espace tensoriel sur E tout sous-module H de ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}}$ stable par la loi externe ${\displaystyle (u,x)\mapsto u\cdot x}$.

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