Classe d'Euler

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En topologie algébrique, la classe d’Euler est une classe caractéristique d'un fibré vectoriel réel orienté. Elle mesure l’obstruction à trouver une section d’un fibré qui ne s’annule pas. Cette notion trouve son origine dans la théorie de l'homologie.

Soit ξ un fibré vectoriel réel orienté de rang ${\displaystyle r}$ sur une variété compacte orientée ${\displaystyle B}$ de dimension ${\displaystyle n}$ . Une section générique ${\displaystyle s}$ de ξ est transverse à la section nulle. Par conséquent, le lieu de ses zéros est une sous-variété ${\displaystyle s^{-1}(0)}$ compacte sans bord orientée de dimension ${\displaystyle n}$-${\displaystyle r}$, elle possède une classe d’homologie [${\displaystyle s^{-1}(0)}$] ${\displaystyle \in \mathbb {H} _{n-r}(B,\mathbb {Z} ))}$ qui ne dépend pas du choix de la section. C’est la classe d’Euler de ξ en homologie.

Si ξ = ${\displaystyle TB}$ est le fibré tangent de ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle s}$ un champ de vecteurs générique, alors [${\displaystyle s^{-1}(0)}$] ${\displaystyle \in \mathbb {H} _{0}(B,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ compte le nombre de zéros avec signes de s. D’après un théorème de H. Hopf, ce nombre coïncide avec la caractéristique d’Euler-Poincaré de B, d’où le nom de classe d’Euler.

• (en) John Willard Milnor et James Stasheff, Characteristic classes, PUP, coll. « Annals of Mathematics Studies » (n^o 76), 1974
• (en) Edwin Spanier, Algebraic Topology, 2008 (ISBN 978-0387944265)

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