Pyörimisliike

Oletetaan, että pyöreä kappale, pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella ω. Silloin kappaleen jokainen osa liikkuu ympyränmuotoista rataa kehänopeudella

${\displaystyle v(r)=\omega r}$ ,

missä r on osan etäisyys pyörimisakselista.

Etäisyydellä r pyörimisakselista kiitävän kappaleen osan, jonka massaa merkitään ρ, liike-energia on

${\displaystyle E_{k}(r)={\frac {1}{2}}\rho v^{2}={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}r^{2}}$ .

Koko kappaleen pyörimiseen sisältyvä liike-energia saadaan laskemalla yhteen (integroimalla) sen eri etäisyyksillä olevien osien liike-energiat.

Jos ajatellaan, että suure ρ(r) kuvaa kappaleen massan jakautumista eri etäisyyksille akselista, ja integroidaan eri etäisyyksien osuudet, kokonaisenergiaksi saadaan

${\displaystyle E_{k}=\int _{0}^{R}{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\rho (r)r^{2}\,dr={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}$ ,

missä R on kappaleen säde pyörimisakselista mitattuna, ja suuretta

${\displaystyle J=\int _{0}^{R}\rho (r)r^{2}\,dr}$  kutsutaan kappaleen hitausmomentiksi.

Esimerkiksi tasa-aineisen ympyränmuotoisen levyn tai umpinaisen sylinterin, jonka kokonaismassa on m ja säde R, hitausmomentti on

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}}$ 

ja umpinaisen pallon

${\displaystyle J={\frac {2}{5}}mR^{2},}$ 

joten liike-energiaksi saadaan pyörivälle levylle

${\displaystyle E={\frac {1}{4}}mR^{2}\omega ^{2}}$ 

ja pallolle

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{5}}mR^{2}\omega ^{2}}$ 

edellyttäen, että pyörimisakseli kulkee levyn tai pallon keskipisteen kautta.

Vierivällä kappaleella on sen pyörimis- eli rotaatioenergian lisäksi sen tasaiseen liikkeeseen liittyvää liike-energiaa. Tällöin liikkeeseen liittyvä kokonaisenergia on sen etenevän liike-energian ja rotaatioenergian summa. ^[1]

Tasaisella nopeudella pyörivän akselin välittämä teho lasketaan seuraavasti:

${\displaystyle P=M\cdot \omega ,}$ 

missä ${\displaystyle M=F\cdot r}$  on akselin välittämä vääntömomentti (yksikkönä Nm) ja ${\displaystyle \omega }$  on akselin kulmanopeus (yksikkö rad/s).

Pyörivän kiekon tai sylinterin kehänopeus voidaan kirjoittaa myös

${\displaystyle v=(2\pi r)n=sn,}$ 

missä n = kappaleen pyörimisnopeus (kierrosta sekunnissa) ja s on kappaleen ympärysmitta eli piiri.

Tätä on mielenkiintoista verrata aalto-opin perusyhtälöön

${\displaystyle c=\lambda f}$ 

jossa c on aaltoliikkeen (esim. valo- tai ääniaalto) nopeus, f on taajuus ja ${\displaystyle \lambda }$  on aallonpituus. Tämän analogian mukaan pyörimisliikkeessä taajuutta vastaa kierrosnopeus ja aallonpituutta kehän pituus.

• Ympyräliike
• Spin
• Hyrrävoima

 

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pyörimisliike.

• Opetus.tv: Fysiikan etäopiskeluympäristö, Pyöriminen ja gravitaatio
• Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti (video)