Kulmakiihtyvyys

Kahdessa ulottuvuudessa ratakulmakiihtyvyys ilmaisee, kuinka nopeasti kappaleen kaksiulotteinen ratakulmanopeus annetun pisteen, origon suhteen muuttuu ajan kuluessa. Kappaleen hetkellinen kulmanopeus ω kullakin hetkellä on

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$ 

missä ${\displaystyle r}$  on etäisyys keskuksesta ja ${\displaystyle v_{\perp }}$  kappaleen hetkellisen nopeuden sen paikkavektoriin nähden kohtisuora komponentti, joka tavallisesti katsotaan positiiviseksi vastapäivään ja negatiiviseksi myötäpäivään kiertävälle liikkeelle.

Näin ollen kappaleen hetkellinen kulmakiihtyvyys α on

${\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).}$ 

Soveltamalla yhtälön oikeaan puoleen tulon derivoimissääntöä saadaan:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.}$ 

Siinä erikoistapauksessa, että kappale on ympyräliikkeessä origon ympäri, ${\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$  on sama kuin sen ympyrän tangentin suuntainen kiihtyvyys ${\displaystyle a_{\perp }}$ , ja ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$  häviää, koska sen etäisyys origosta pysyy vakiona, ja näin ollen yhtälö yksinkertaistuu muotoon.

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.}$ 

Kahdessa ulottuvuudessa kulmakiihtyvyys on siis luku, jonka etumerkki ilmaisee kiertosuuunnan mutta jolla itsellään ei ole tiettyä suuntaa. Tavanomaisesti kulmakiihtyvyys katsotaan positiiviseksi, jos kulmanopeus kasvaa vastapäivään tai pienenee myötäpäivään kiertävässä liikkeessä, ja negatiiviseksi, jos kulmanopeus kasvaa myötäpäivään tai pienenee vastapäivään kiertävässä liikkeessä. Näin ollen kulmakiihtyvyys on on luonteeltaan pseudoskalaari^[4] , numeerinen suure, jonka etumerkki muuttuu peilikuvassa päinvastaiseksi.

Kolmessa ulottuvuudessa ratakulmakiihtyvyys ilmaisee, kuinka nopeasti kolmiulotteinen ratakulmanopeus muuttuu ajan kuluessa. Kappaleen hetkellinen kulmanopeus ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$  kullakin hetkellä t on vektori

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}$ 

missä ${\displaystyle \mathbf {r} }$  on kappaleen paikkavektori, ${\displaystyle r}$  sen etäisyys origosta ja ${\displaystyle \mathbf {v} }$  sen nopeusvektori.

Näin ollen kappaleen hetkellinen kulmakiihtyvyys ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$  määritellään seuraavasti:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).}$ 

Soveltamalla yhtälön oikeaan puoleen ristitulon ja osamäärän derivoimissääntöjä saadaan:t

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}}$ 

Koska ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$  on sama kuin ${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$ , jälkimmäinen termi voidaan kirjoittaa yös muotoon ${\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$ . Mikäli kappaleen etäisyys origosta ${\displaystyle r}$  pysyy vakiona, kuten on laita esimerkiksi ympyräliikkeessä mutta myös muunlaisessa pallon pinnalla tapahtuvasaa liikkeessä, tämän lausekkeen jälkimmäinen termi häviää ja yhtälö yksinkertaistuu muotoon

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.}$ 

Tästä saadaan sädettä vastaan kohtisuoralle kiihtyvyydelle tässä erikoistapauksessa lauseke:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .}$ 

Toisin kuin kahdessa ulottuvuudessa, kolmessa ulottuvuudessa nollasta poikkeava kulmakiihtyvyys ei välttämättä edellytä, että myös kulmanopeuden itseisarvo ${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$  muuttuu ajan kuluessa. Jos kappaleen paikka "kiertyy" avaruudessa siten, ettei se pysy samassa tasossa, sen kumanopeuden ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$  suunnan muutokset saavat aikaan nollasta poikkeavan kulmakiihtyvyyden. Tämä ei ole mahdollista, jos kappale pysyy jatkuvasti samassa tasossa, sillä tällöin kulmanopeuden suunta ei muutu vaan se on koko ajan kohtisuorassa tähän tasoon nähden.

Kulmakiihtyvyysvektori on oikeammin sanottuna pseudovektori.^[4] Sen samoin kuin kulmanopeusvektorinkin suunta on määritelty oikean käden säännön mukaisesti: jos kiertoliike tapahtuu nyrkkiin puristetun oikean käden sormien suuntaisesti, sen ojennettu peukalo osoittaa kulmanopeusvektorin suunnan.^[5] Pseudovektoreilla on kolme komponenttia, jotka rotaatiossa muuttuvat samaan tapaan kuin pisteen karteesiset koordinaatit, mutta peilikuvassa ne käyttäytyvät toisin.

Pistemäiseen kappaleeseen kohdistuva momentti määritellään pseudovektorina

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$ 

missä ${\displaystyle \mathbf {F} }$  on kappaleeseen vaikuttava nettovoima^[6]

Momentti on voiman analoginen vastine liikkeessä: se aiheuttaa muutoksen systeemin pyörimisliikkeeseen, samaan tapaan kuin voima aiheuttaa muutoksen sen siirtoliikkeeseen. Kuten kappaleeseen vaikuttavan voiman ja sen saaman kiihtyvyyden välillä on yhteys ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ , on myös kappaleeseen kohdistuvan momentin ja sen saaman kulmakiihtyvyyden välillä vastaava yhteys, joskin monimutkaisempi.^[7]

Jos ensinnäkin yhtälössä ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$  voima korvataan momentilla, saadaan

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).}$ 

Edellisestä kappaleesta saadaan

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},}$ 

missä ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$  on kappaleen ratakulmakiihtyvyys ja ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$  sen ratakulmanopeus. Näin ollen

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$ 

Siinä erikoistapauksessa, että kappaleen etäisyys ${\displaystyle r}$  origosta pysyy vakiona (eli (${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$ ), yhtälön jälkimmäinen termi häviää ja yhtälö yksinkertaistuu muotoon

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},}$ 

mikä voidaan tulkita pyörimisliikettä koskevaksi analogiaksi yhtälölle ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ , missä suureella ${\displaystyle mr^{2}}$  eli kappaleen hitausmomentilla on vastaava merkitys kuin massalla ${\displaystyle m}$  etenemisliikkeessä.^[8] Tämä yhtälö ei kuitenkaan päde kaikilla mahdollisilla liikeradoilla, vaan ainoastaan sellaisilla, joissa kappale pysyy koko ajan saman origokeskeisen pallon pinnalla.