Resultantti (matematiikka)

Olkoon k kunta. Kahden k-kertoimisen pääpolynomin P ja Q resultantti on tulo

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),}$

missä ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ kuuluu ${\displaystyle k}$:n algebralliseen sulkeumaan. Ei-pääpolynomin, jonka johtavat kertoimet ovat ${\displaystyle p}$ ja ${\displaystyle q}$, resultantti on edellinen kerrottuna luvulla

${\displaystyle p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,}$

• Resultantin voi laskea Sylvesterin matriisin avulla, samoin kuin Bezout'n matriisin avulla.

• Kun Q on separoituva, yllä oleva tulo voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x),}$

ja tämä tulo säilyy muuttumattomana kun q korvataan polynomilla Q mod P. Huomaa, että ei-pääpolynomien tapauksessa tulo käsittää tekijän ${\displaystyle q^{\deg P}}$, mutta tuloon tarvitaan myös tekijä ${\displaystyle p^{\deg Q}}$.

Kirja "K. Vaisala Lukuteorian ja Korkeamman algebran alkeet" sivuilla 168-170 laskee resultantin esimerkin avulla. Resultantti on siis tulo polynomien juurien erotusten kanssa (sivu 168). Jos ${\displaystyle R=0}$ silloin ja vain silloin polynomeilla on yhteinen juuri (sivu 168). Resultantti voidaan ilmaista determinantin muodossa (sivu 170).