Gudermannin funktio asymptootteineen Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan
y
{\displaystyle y}
Mercatorin karttaprojektiossa . Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (1798 –1852 ) mukaan [ 1]
Gudermannin funktio,
g
d
{\displaystyle gd}
gd
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
cosh
t
=
2
arctan
(
e
x
)
−
π
2
.
{\displaystyle \operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}.}
[ 2] Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti
arcgd
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
cos
t
=
1
2
ln
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcgd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)}
Gudermannin funktio on pariton, sillä
gd
(
−
x
)
=
−
gd
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {gd} (-x)=-\operatorname {gd} (x)\,}
Sillä on myös kaksi asymptoottia
lim
x
→
∞
gd
(
x
)
=
π
2
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\operatorname {gd} (x)={\frac {\pi }{2}}}
lim
x
→
−
∞
gd
(
x
)
=
−
π
2
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\operatorname {gd} (x)=-{\frac {\pi }{2}}}
Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä
sinh
(
x
)
=
tan
(
gd
(
x
)
)
{\displaystyle \sinh(x)=\tan(\operatorname {gd} (x))\,}
cosh
(
x
)
=
sec
(
gd
(
x
)
)
{\displaystyle \cosh(x)=\sec(\operatorname {gd} (x))\,}
tanh
(
x
)
=
sin
(
gd
(
x
)
)
{\displaystyle \tanh(x)=\sin(\operatorname {gd} (x))\,}
sech
(
x
)
=
cos
(
gd
(
x
)
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)=\cos(\operatorname {gd} (x))\,}
csch
(
x
)
=
cot
(
gd
(
x
)
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)=\cot(\operatorname {gd} (x))\,}
coth
(
x
)
=
csc
(
gd
(
x
)
)
{\displaystyle \coth(x)=\csc(\operatorname {gd} (x))\,}
ja lisäksi
tanh
(
x
2
)
=
tan
(
gd
(
x
)
2
)
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\operatorname {gd} (x)}{2}}\right)}
Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys
e
x
=
1
+
sin
(
gd
(
x
)
)
cos
(
gd
(
x
)
)
{\displaystyle e^{x}={\frac {1+\sin(\operatorname {gd} (x))}{\cos(\operatorname {gd} (x))}}}
Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat
d
d
x
gd
(
x
)
=
sech
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {gd} (x)=\operatorname {sech} x}
d
d
x
arcgd
(
x
)
=
sec
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcgd} (x)=\sec x}
Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille . Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa
gd
(
i
x
)
=
i
arcgd
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {gd} (ix)=i\operatorname {arcgd} (x)\,}
↑ Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II , s. 780. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6 ↑ Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics , s. 1271–1272. Määritä julkaisija!
